Номер 2.141, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.141. Сократите дробь:

а) $\frac{\sqrt[3]{10a} - \sqrt[3]{15}}{\sqrt[3]{4a} - \sqrt[3]{6}}$;

б) $\frac{\sqrt[4]{14} - \sqrt[4]{21b}}{\sqrt[4]{7b} - \sqrt[4]{14}}$;

в) $\frac{\sqrt[5]{a^2} - \sqrt[5]{ab}}{\sqrt[5]{b^2} - \sqrt[5]{ab}}$;

г) $\frac{\sqrt[4]{x^2} - \sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x^3} - \sqrt[4]{x^2y}}$.

а) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt[3]{10a} - \sqrt[3]{15}}{\sqrt[3]{4a} - \sqrt[3]{6}}$ вынесем общие множители из числителя и знаменателя.

В числителе: $\sqrt[3]{10a} - \sqrt[3]{15} = \sqrt[3]{5 \cdot 2a} - \sqrt[3]{5 \cdot 3} = \sqrt[3]{5}(\sqrt[3]{2a} - \sqrt[3]{3})$.

В знаменателе: $\sqrt[3]{4a} - \sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{2 \cdot 2a} - \sqrt[3]{2 \cdot 3} = \sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{2a} - \sqrt[3]{3})$.

Подставим полученные выражения обратно в дробь: $$ \frac{\sqrt[3]{5}(\sqrt[3]{2a} - \sqrt[3]{3})}{\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{2a} - \sqrt[3]{3})} $$

Сократим общий множитель $(\sqrt[3]{2a} - \sqrt[3]{3})$: $$ \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{5}{2}} $$

Выделим целую часть из неправильной дроби под корнем: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{2\frac{1}{2}}$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt[4]{14} - \sqrt[4]{21b}}{\sqrt[4]{7b} - \sqrt[4]{14}}$. Вынесем общий множитель $\sqrt[4]{7}$ из числителя и знаменателя: $$ \frac{\sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{3b})}{\sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{2})} = \frac{\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{3b}}{\sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{2}} $$ В данном виде дробь не сокращается. Вероятно, в условии допущена опечатка. Если предположить, что в числителе вместо $\sqrt[4]{21b}$ должно быть $\sqrt[4]{7b}$, то дробь примет вид $\frac{\sqrt[4]{14} - \sqrt[4]{7b}}{\sqrt[4]{7b} - \sqrt[4]{14}}$. Решим исправленный вариант.

Вынесем в числителе $-1$ за скобки: $$ \frac{-(\sqrt[4]{7b} - \sqrt[4]{14})}{\sqrt[4]{7b} - \sqrt[4]{14}} $$

Сократим одинаковые выражения $(\sqrt[4]{7b} - \sqrt[4]{14})$.

Ответ: $-1$.

в) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt[5]{a^2} - \sqrt[5]{ab}}{\sqrt[5]{b^2} - \sqrt[5]{ab}}$ вынесем общие множители из числителя и знаменателя.

В числителе: $\sqrt[5]{a^2} - \sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a \cdot a} - \sqrt[5]{a \cdot b} = \sqrt[5]{a}(\sqrt[5]{a} - \sqrt[5]{b})$.

В знаменателе: $\sqrt[5]{b^2} - \sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{b \cdot b} - \sqrt[5]{a \cdot b} = \sqrt[5]{b}(\sqrt[5]{b} - \sqrt[5]{a})$.

Подставим полученные выражения в дробь: $$ \frac{\sqrt[5]{a}(\sqrt[5]{a} - \sqrt[5]{b})}{\sqrt[5]{b}(\sqrt[5]{b} - \sqrt[5]{a})} $$

Заметим, что $(\sqrt[5]{b} - \sqrt[5]{a}) = -(\sqrt[5]{a} - \sqrt[5]{b})$. Перепишем дробь: $$ \frac{\sqrt[5]{a}(\sqrt[5]{a} - \sqrt[5]{b})}{-\sqrt[5]{b}(\sqrt[5]{a} - \sqrt[5]{b})} $$

Сократим общий множитель $(\sqrt[5]{a} - \sqrt[5]{b})$: $$ -\frac{\sqrt[5]{a}}{\sqrt[5]{b}} = -\sqrt[5]{\frac{a}{b}} $$

Ответ: $-\sqrt[5]{\frac{a}{b}}$.

г) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt[4]{x^2} - \sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x^3} - \sqrt[4]{x^2y}}$ вынесем общие множители.

В числителе: $\sqrt[4]{x^2} - \sqrt[4]{xy} = \sqrt[4]{x}(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})$.

В знаменателе: $\sqrt[4]{x^3} - \sqrt[4]{x^2y} = \sqrt[4]{x^2}(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})$.

Подставим полученные выражения в дробь: $$ \frac{\sqrt[4]{x}(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})}{\sqrt[4]{x^2}(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})} $$

Сократим общий множитель $(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})$: $$ \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{x^2}} $$

Упростим полученное выражение, используя свойства степеней ($ \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} $): $$ \frac{x^{1/4}}{x^{2/4}} = \frac{x^{1/4}}{x^{1/2}} = x^{1/4 - 1/2} = x^{-1/4} = \frac{1}{x^{1/4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}} $$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$.