Номер 2.138, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.138. Представьте в виде произведения выражение:

a) $ \sqrt[4]{2x} - \sqrt[4]{3y} + \sqrt[4]{2y} - \sqrt[4]{3x}; $

б) $ \sqrt[3]{a^4} + \sqrt[3]{ab^3} - \sqrt[3]{a^3b} - \sqrt[3]{b^4} . $

а) Для того чтобы представить выражение в виде произведения, применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые, содержащие одинаковые переменные под знаком корня, и вынесем общие множители за скобки.
Исходное выражение: $\sqrt[4]{2x} - \sqrt[4]{3y} + \sqrt[4]{2y} - \sqrt[4]{3x}$
Сгруппируем члены с $x$ и члены с $y$:
$(\sqrt[4]{2x} - \sqrt[4]{3x}) + (\sqrt[4]{2y} - \sqrt[4]{3y})$
Используя свойство корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$, вынесем из первой скобки $\sqrt[4]{x}$, а из второй $\sqrt[4]{y}$:
$(\sqrt[4]{2}\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{3}\sqrt[4]{x}) + (\sqrt[4]{2}\sqrt[4]{y} - \sqrt[4]{3}\sqrt[4]{y}) = \sqrt[4]{x}(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{3}) + \sqrt[4]{y}(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{3})$
Теперь мы видим общий множитель $(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{3})$, который можно вынести за скобки:
$(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{3})$
Ответ: $(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{3})$

б) Для начала упростим каждый член выражения, вынеся множители из-под знака корня, используя свойство $\sqrt[n]{c^n d} = c \sqrt[n]{d}$.
Исходное выражение: $\sqrt[3]{a^4} + \sqrt[3]{ab^3} - \sqrt[3]{a^3b} - \sqrt[3]{b^4}$
Упрощаем каждый член:
$\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = a\sqrt[3]{a}$
$\sqrt[3]{ab^3} = b\sqrt[3]{a}$
$\sqrt[3]{a^3b} = a\sqrt[3]{b}$
$\sqrt[3]{b^4} = \sqrt[3]{b^3 \cdot b} = b\sqrt[3]{b}$
Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$a\sqrt[3]{a} + b\sqrt[3]{a} - a\sqrt[3]{b} - b\sqrt[3]{b}$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми радикалами:
$(a\sqrt[3]{a} + b\sqrt[3]{a}) - (a\sqrt[3]{b} + b\sqrt[3]{b})$
Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы выносим $\sqrt[3]{a}$, из второй $-\sqrt[3]{b}$:
$\sqrt[3]{a}(a+b) - \sqrt[3]{b}(a+b)$
Теперь вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:
$(a+b)(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})$
Ответ: $(a+b)(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})$