Номер 2.144, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.144. Примените формулы сокращенного умножения и сократите дробь:

a) $\frac{\sqrt{a} - 2\sqrt[4]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$;

б) $\frac{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}{4\sqrt[3]{n^2} + 4\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{m^2}}$

а) Для того чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{a} - 2\sqrt[4]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$, заметим, что числитель является полным квадратом. Применим формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае, пусть $x = \sqrt[4]{a}$ и $y = \sqrt[3]{b}$. Тогда:

• $x^2 = (\sqrt[4]{a})^2 = a^{\frac{1}{4} \cdot 2} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$
• $y^2 = (\sqrt[3]{b})^2 = b^{\frac{1}{3} \cdot 2} = b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^2}$
• $2xy = 2\sqrt[4]{a}\sqrt[3]{b}$

Таким образом, числитель дроби можно записать в виде:

$\sqrt{a} - 2\sqrt[4]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} = (\sqrt[4]{a})^2 - 2\sqrt[4]{a}\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b})^2$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь и сократим:

$\frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b})^2}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}} = \sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}$.

Ответ: $\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}{4\sqrt[3]{n^2} + 4\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{m^2}}$. Знаменатель этой дроби также можно преобразовать с помощью формулы сокращенного умножения, на этот раз для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В знаменателе $4\sqrt[3]{n^2} + 4\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{m^2}$ выберем $x = 2\sqrt[3]{n}$ и $y = \sqrt[3]{m}$. Тогда:

• $x^2 = (2\sqrt[3]{n})^2 = 4\sqrt[3]{n^2}$
• $y^2 = (\sqrt[3]{m})^2 = \sqrt[3]{m^2}$
• $2xy = 2 \cdot (2\sqrt[3]{n}) \cdot (\sqrt[3]{m}) = 4\sqrt[3]{mn}$

Следовательно, знаменатель является полным квадратом суммы:

$4\sqrt[3]{n^2} + 4\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{m^2} = (2\sqrt[3]{n})^2 + 2 \cdot 2\sqrt[3]{n}\sqrt[3]{m} + (\sqrt[3]{m})^2 = (2\sqrt[3]{n} + \sqrt[3]{m})^2$.

Подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби и сократим ее:

$\frac{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}{(2\sqrt[3]{n} + \sqrt[3]{m})^2} = \frac{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}{(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n})^2} = \frac{1}{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}$.