Номер 2.150, страница 189 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.150. Пользуясь алгоритмом, вынесите множитель за знак корня:

а) $\sqrt[3]{24}$;

б) $\sqrt[3]{432}$;

в) $\sqrt[4]{48}$;

г) $\sqrt[4]{160}$;

д) $\sqrt[4]{324}$;

е) $\sqrt[5]{160}$;

ж) $\sqrt[5]{500000}$;

з) $\sqrt[7]{384}$.

Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня, необходимо следовать алгоритму:

1. Разложить подкоренное число на простые множители.
2. Представить подкоренное выражение в виде произведения, в котором один или несколько множителей являются степенью с показателем, равным показателю корня (или кратным ему).
3. Применить свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
4. Извлечь корень из тех множителей, которые являются точной степенью, и записать их перед знаком корня.

а) $\sqrt[3]{24}$

Разложим число 24 на простые множители: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
Теперь вынесем множитель из-под знака кубического корня:
$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $2\sqrt[3]{3}$.

б) $\sqrt[3]{432}$

Разложим число 432 на множители. Заметим, что 432 делится на 8 (куб числа 2) и на 27 (куб числа 3).
$432 = 216 \cdot 2 = 6^3 \cdot 2$.
Выносим множитель из-под знака корня:
$\sqrt[3]{432} = \sqrt[3]{6^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{6^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $6\sqrt[3]{2}$.

в) $\sqrt[4]{48}$

Разложим число 48 на простые множители: $48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$.
Выносим множитель из-под знака корня четвертой степени:
$\sqrt[4]{48} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{3} = 2\sqrt[4]{3}$.

Ответ: $2\sqrt[4]{3}$.

г) $\sqrt[4]{160}$

Разложим число 160 на множители: $160 = 16 \cdot 10 = 2^4 \cdot 10$.
Выносим множитель из-под знака корня:
$\sqrt[4]{160} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 10} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{10} = 2\sqrt[4]{10}$.

Ответ: $2\sqrt[4]{10}$.

д) $\sqrt[4]{324}$

Разложим число 324 на простые множители: $324 = 81 \cdot 4 = 3^4 \cdot 4$.
Выносим множитель из-под знака корня:
$\sqrt[4]{324} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 4} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{4} = 3\sqrt[4]{4}$.

Ответ: $3\sqrt[4]{4}$.

е) $\sqrt[5]{160}$

Разложим число 160 на простые множители: $160 = 32 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5$.
Выносим множитель из-под знака корня пятой степени:
$\sqrt[5]{160} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 5} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{5} = 2\sqrt[5]{5}$.

Ответ: $2\sqrt[5]{5}$.

ж) $\sqrt[5]{500000}$

Представим число 500000 в виде произведения: $500000 = 5 \cdot 100000 = 5 \cdot 10^5$.
Выносим множитель из-под знака корня:
$\sqrt[5]{500000} = \sqrt[5]{10^5 \cdot 5} = \sqrt[5]{10^5} \cdot \sqrt[5]{5} = 10\sqrt[5]{5}$.

Ответ: $10\sqrt[5]{5}$.

з) $\sqrt[7]{384}$

Разложим число 384 на простые множители: $384 = 128 \cdot 3 = 2^7 \cdot 3$.
Выносим множитель из-под знака корня седьмой степени:
$\sqrt[7]{384} = \sqrt[7]{2^7 \cdot 3} = \sqrt[7]{2^7} \cdot \sqrt[7]{3} = 2\sqrt[7]{3}$.

Ответ: $2\sqrt[7]{3}$.