Номер 2.152, страница 189 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.152. Вынесите множитель за знак корня:

а) $\sqrt[4]{3b^4}$;

б) $\sqrt[6]{17a^{12}}风$;

в) $\sqrt[4]{162k^8 p^4}$;

г) $\sqrt[3]{8xy^9 z^6}$.

а) Для того чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $ \sqrt[4]{3b^4} $, необходимо найти в подкоренном выражении множители, являющиеся точными четвертыми степенями.
Используем свойство корня из произведения: $ \sqrt[n]{AB} = \sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B} $.
Представим подкоренное выражение как произведение: $ \sqrt[4]{3b^4} = \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{b^4} $.
Поскольку показатель степени у множителя $ b^4 $ равен показателю корня (4), этот множитель можно вынести из-под знака корня: $ \sqrt[4]{b^4} = b $ (предполагая, что $ b \ge 0 $).
Число 3 не является точной четвертой степенью, поэтому оно остается под корнем.
В результате получаем: $ b\sqrt[4]{3} $.
Ответ: $ b\sqrt[4]{3} $

б) В выражении $ \sqrt[6]{17a^{12}} $ необходимо вынести множитель за знак корня шестой степени.
Для этого воспользуемся свойством степени корня: $ \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n} $.
Разобьем выражение на множители: $ \sqrt[6]{17a^{12}} = \sqrt[6]{17} \cdot \sqrt[6]{a^{12}} $.
Для множителя $ a^{12} $ показатель степени (12) делится нацело на показатель корня (6): $ \sqrt[6]{a^{12}} = a^{12/6} = a^2 $.
Число 17 не является точной шестой степенью, поэтому оно остается под знаком корня.
Объединив результаты, получаем: $ a^2\sqrt[6]{17} $.
Ответ: $ a^2\sqrt[6]{17} $

в) Рассмотрим выражение $ \sqrt[4]{162k^8 p^4} $. Чтобы вынести множители за знак корня четвертой степени, разложим подкоренное выражение на множители, которые являются точными четвертыми степенями.
1. Разложим число 162 на множители: $ 162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2 $.
2. Показатель степени у $ k^8 $ (8) делится нацело на показатель корня (4): $ 8/4 = 2 $.
3. Показатель степени у $ p^4 $ (4) равен показателю корня.
Перепишем исходное выражение: $ \sqrt[4]{3^4 \cdot 2 \cdot k^8 \cdot p^4} $.
Сгруппируем множители и применим свойство корня: $ \sqrt[4]{(3^4 \cdot k^8 \cdot p^4) \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{k^8} \cdot \sqrt[4]{p^4} \cdot \sqrt[4]{2} $.
Вычислим каждый корень:
$ \sqrt[4]{3^4} = 3 $
$ \sqrt[4]{k^8} = k^{8/4} = k^2 $
$ \sqrt[4]{p^4} = p $ (предполагая, что $ p \ge 0 $)
Множитель $ \sqrt[4]{2} $ остается, так как 2 извлечь нацело нельзя.
Собираем множители перед корнем: $ 3 \cdot k^2 \cdot p $.
Итоговый результат: $ 3k^2p\sqrt[4]{2} $.
Ответ: $ 3k^2p\sqrt[4]{2} $

г) В выражении $ \sqrt[3]{8xy^9 z^6} $ вынесем множители за знак кубического корня.
Ищем множители, являющиеся точными кубами (третьими степенями).
1. Число 8 является кубом числа 2: $ 8 = 2^3 $.
2. Множитель $ x $ имеет степень 1, что меньше показателя корня 3, поэтому он остается под корнем.
3. Показатель степени у $ y^9 $ (9) делится нацело на показатель корня (3): $ 9/3 = 3 $.
4. Показатель степени у $ z^6 $ (6) делится нацело на показатель корня (3): $ 6/3 = 2 $.
Перепишем выражение: $ \sqrt[3]{2^3 \cdot x \cdot y^9 \cdot z^6} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{y^9} \cdot \sqrt[3]{z^6} \cdot \sqrt[3]{x} $.
Вычисляем каждый корень (для нечетной степени модуль не используется):
$ \sqrt[3]{2^3} = 2 $
$ \sqrt[3]{y^9} = y^{9/3} = y^3 $
$ \sqrt[3]{z^6} = z^{6/3} = z^2 $
Множитель $ x $ остается под знаком корня.
Объединяем вынесенные множители: $ 2y^3z^2 $.
Итоговый результат: $ 2y^3z^2\sqrt[3]{x} $.
Ответ: $ 2y^3z^2\sqrt[3]{x} $