Номер 2.158, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.158. Внесите множитель под знак корня:

а) $2\sqrt[4]{x}$;

б) $\frac{1}{5}\sqrt[4]{1250y}$;

в) $\frac{1}{3}\sqrt[3]{54b}$;

г) $-\frac{1}{2}\sqrt[6]{128b^5}$.

Чтобы внести множитель под знак корня, необходимо возвести этот множитель в степень, равную показателю корня, и умножить на подкоренное выражение. Если множитель отрицательный, а показатель корня — чётное число, то знак «минус» остаётся перед корнем.

а) Для того чтобы внести множитель 2 под знак корня четвертой степени, возведем 2 в четвертую степень:
$2^4 = 16$
Теперь умножим подкоренное выражение на полученное число:
$2\sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{2^4 \cdot x} = \sqrt[4]{16x}$
Ответ: $\sqrt[4]{16x}$

б) Вносим множитель $\frac{1}{5}$ под знак корня четвертой степени. Для этого возводим его в четвертую степень:
$(\frac{1}{5})^4 = \frac{1}{625}$
Умножаем подкоренное выражение на результат:
$\frac{1}{5}\sqrt[4]{1250y} = \sqrt[4]{(\frac{1}{5})^4 \cdot 1250y} = \sqrt[4]{\frac{1}{625} \cdot 1250y} = \sqrt[4]{\frac{1250y}{625}}$
Сокращаем дробь под корнем:
$\frac{1250}{625} = 2$
Таким образом, получаем:
$\sqrt[4]{2y}$
Ответ: $\sqrt[4]{2y}$

в) Вносим множитель $\frac{1}{3}$ под знак корня третьей степени. Возводим его в третью степень:
$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$
Умножаем подкоренное выражение на полученное число:
$\frac{1}{3}\sqrt[3]{54b} = \sqrt[3]{(\frac{1}{3})^3 \cdot 54b} = \sqrt[3]{\frac{1}{27} \cdot 54b} = \sqrt[3]{\frac{54b}{27}}$
Сокращаем дробь:
$\frac{54}{27} = 2$
Получаем окончательный результат:
$\sqrt[3]{2b}$
Ответ: $\sqrt[3]{2b}$

г) В данном случае множитель $-\frac{1}{2}$ отрицательный, а показатель корня 6 — чётное число. Поэтому знак «минус» остается перед корнем, а под знак корня вносим положительный множитель $\frac{1}{2}$, возведя его в шестую степень:
$(\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$
Умножаем подкоренное выражение на полученный результат, оставляя минус перед корнем:
$-\frac{1}{2}\sqrt[6]{128b^5} = -\sqrt[6]{(\frac{1}{2})^6 \cdot 128b^5} = -\sqrt[6]{\frac{1}{64} \cdot 128b^5} = -\sqrt[6]{\frac{128b^5}{64}}$
Сокращаем дробь под корнем:
$\frac{128}{64} = 2$
В итоге получаем:
$-\sqrt[6]{2b^5}$
Ответ: $-\sqrt[6]{2b^5}$