Номер 2.159, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.159. В выражении $k\sqrt[6]{3}$ внесите множитель под знак корня, если:

a) $k > 0$;

б) $k \le 0$.

Чтобы внести множитель $k$ под знак корня в выражении $k\sqrt[6]{3}$, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака множителя $k$, так как степень корня $n=6$ является четным числом. Общее правило для внесения множителя $A$ под знак корня четной степени $n$:

• Если $A \ge 0$, то $A\sqrt[n]{B} = \sqrt[n]{A^n B}$.
• Если $A < 0$, то $A\sqrt[n]{B} = -|A|\sqrt[n]{B} = -\sqrt[n]{|A|^n B} = -\sqrt[n]{A^n B}$.

а) По условию $k > 0$. Так как множитель $k$ положителен, мы вносим его под знак корня, возведя в степень, равную показателю корня, то есть в 6-ю степень.
$k\sqrt[6]{3} = \sqrt[6]{k^6 \cdot 3} = \sqrt[6]{3k^6}$.
Ответ: $\sqrt[6]{3k^6}$.

б) По условию $k \le 0$. В этом случае множитель $k$ является неположительным числом.
Если $k=0$, то выражение равно $0 \cdot \sqrt[6]{3} = 0$.
Если $k < 0$, то $k$ является отрицательным числом. Чтобы внести его под знак корня, мы оставляем знак "минус" перед корнем, а под корень вносим модуль числа $k$, то есть $|k|$, возведенный в 6-ю степень.
$k\sqrt[6]{3} = -|k|\sqrt[6]{3}$.
Теперь вносим положительный множитель $|k|$ под знак корня:
$-|k|\sqrt[6]{3} = -\sqrt[6]{|k|^6 \cdot 3}$.
Поскольку степень 6 — четное число, то $|k|^6 = k^6$ (например, $|-2|^6 = 2^6 = 64$ и $(-2)^6 = 64$).
Следовательно, получаем:
$-\sqrt[6]{k^6 \cdot 3} = -\sqrt[6]{3k^6}$.
Эта формула также верна и для $k=0$, так как $-\sqrt[6]{3 \cdot 0^6} = -\sqrt[6]{0} = 0$.
Ответ: $-\sqrt[6]{3k^6}$.