Номер 2.160, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.160. Внесите множитель под знак корня:

a) $n\sqrt[4]{2}$, если $n \ge 0$;

б) $m\sqrt[8]{7}$, если $m < 0$;

в) $c\sqrt[3]{2}$;

г) $k\sqrt[5]{k}$;

д) $x\sqrt[6]{x}$;

е) $(a-b)\sqrt[4]{b-a}$.

а) Чтобы внести множитель под знак корня, необходимо возвести этот множитель в степень, равную показателю корня, и умножить на подкоренное выражение. Поскольку показатель корня (4) — четное число, а множитель $n$ по условию неотрицателен ($n \ge 0$), мы можем внести его под знак корня без изменения знака перед корнем.
$n\sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{n^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{2n^4}$.
Ответ: $\sqrt[4]{2n^4}$.

б) В данном случае показатель корня (8) — четное число, а множитель $m$ по условию отрицателен ($m < 0$). При внесении отрицательного множителя под знак корня четной степени, перед корнем ставится знак "минус", а под корень вносится модуль этого множителя, возведенный в степень корня.
$m\sqrt[8]{7} = -(-m)\sqrt[8]{7}$.
Так как $m < 0$, то $-m > 0$. Вносим положительный множитель $(-m)$ под корень:
$-(-m)\sqrt[8]{7} = -\sqrt[8]{(-m)^8 \cdot 7} = -\sqrt[8]{m^8 \cdot 7} = -\sqrt[8]{7m^8}$.
Ответ: $-\sqrt[8]{7m^8}$.

в) Показатель корня (3) — нечетное число. В этом случае любой множитель $c$ можно вносить под знак корня, возведя его в степень корня, независимо от знака множителя.
$c\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{c^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{2c^3}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2c^3}$.

г) Показатель корня (5) — нечетное число. Как и в предыдущем пункте, множитель $k$ можно внести под знак корня, возведя его в 5-ю степень, независимо от его знака.
$k\sqrt[5]{k} = \sqrt[5]{k^5 \cdot k} = \sqrt[5]{k^{5+1}} = \sqrt[5]{k^6}$.
Ответ: $\sqrt[5]{k^6}$.

д) Показатель корня (6) — четное число. Выражение $\sqrt[6]{x}$ определено только для $x \ge 0$. Следовательно, множитель $x$ является неотрицательным. Его можно внести под знак корня, возведя в 6-ю степень.
$x\sqrt[6]{x} = \sqrt[6]{x^6 \cdot x} = \sqrt[6]{x^{6+1}} = \sqrt[6]{x^7}$.
Ответ: $\sqrt[6]{x^7}$.

е) Показатель корня (4) — четное число. Выражение $\sqrt[4]{b-a}$ определено при $b-a \ge 0$, то есть $b \ge a$. Из этого условия следует, что множитель $(a-b)$ является неположительным, т.е. $a-b \le 0$. Для внесения неположительного множителя под корень четной степени, перед корнем ставится знак "минус", а под корень вносится модуль множителя, возведенный в степень корня. Модуль выражения $(a-b)$ равен $-(a-b) = b-a$.
$(a-b)\sqrt[4]{b-a} = -(b-a)\sqrt[4]{b-a}$.
Теперь вносим положительный множитель $(b-a)$ под знак корня:
$-(b-a)\sqrt[4]{b-a} = -\sqrt[4]{(b-a)^4 \cdot (b-a)} = -\sqrt[4]{(b-a)^{4+1}} = -\sqrt[4]{(b-a)^5}$.
Ответ: $-\sqrt[4]{(b-a)^5}$.