Номер 2.156, страница 189 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.156. Вынесите множитель за знак корня:

a) $\sqrt[4]{3x^9}$;

б) $\sqrt[6]{-y^{13}}$;

в) $\sqrt[8]{a^{25}b^{16}}$.

Чтобы вынести множитель за знак корня $\sqrt[n]{A}$, необходимо представить подкоренное выражение $A$ в виде произведения, где один из множителей является степенью $n$. Общая формула: $\sqrt[n]{B^n \cdot C} = B \cdot \sqrt[n]{C}$. Для корней четной степени ($n$ – четное число) необходимо учитывать, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а при вынесении множителя используется модуль: $\sqrt[n]{B^n} = |B|$.

а) $\sqrt[4]{3x^9}$

Так как корень четной степени (показатель 4), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3x^9 \ge 0$. Поскольку $3 > 0$, это условие выполняется при $x^9 \ge 0$, то есть при $x \ge 0$.

Чтобы вынести множитель $x$ за знак корня, представим его степень 9 в виде суммы, где одно из слагаемых кратно 4. Для этого разделим 9 на 4 с остатком:

$9 \div 4 = \mathbf{2}$ (остаток 1). Таким образом, $9 = 4 \cdot 2 + 1$.

Используем это для преобразования выражения под корнем:

$\sqrt[4]{3x^9} = \sqrt[4]{3 \cdot x^{4 \cdot 2 + 1}} = \sqrt[4]{3 \cdot x^8 \cdot x^1} = \sqrt[4]{(x^2)^4 \cdot 3x}$

Теперь можно вынести множитель $(x^2)^4$ из-под знака корня:

$\sqrt[4]{(x^2)^4 \cdot 3x} = \sqrt[4]{(x^2)^4} \cdot \sqrt[4]{3x} = |x^2| \sqrt[4]{3x}$

Так как $x^2$ является неотрицательным при любом значении $x$, то $|x^2| = x^2$.

Ответ: $x^2\sqrt[4]{3x}$

б) $\sqrt[6]{-y^{13}}$

Показатель корня четный (6), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-y^{13} \ge 0$. Это неравенство равносильно $y^{13} \le 0$, что выполняется только при $y \le 0$.

Разделим показатель степени 13 на показатель корня 6 с остатком:

$13 \div 6 = \mathbf{2}$ (остаток 1). Следовательно, $13 = 6 \cdot 2 + 1$.

Преобразуем подкоренное выражение, учитывая, что $y \le 0$, а значит $-y \ge 0$:

$\sqrt[6]{-y^{13}} = \sqrt[6]{(-y) \cdot y^{12}} = \sqrt[6]{(-y) \cdot (y^2)^6}$

Выносим множитель $(y^2)^6$ из-под знака корня, используя правило модуля для четных корней:

$\sqrt[6]{(-y) \cdot (y^2)^6} = \sqrt[6]{(y^2)^6} \cdot \sqrt[6]{-y} = |y^2| \sqrt[6]{-y}$

Выражение $y^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|y^2| = y^2$. Оставшееся под корнем выражение $-y$ также неотрицательно, так как $y \le 0$.

Ответ: $y^2\sqrt[6]{-y}$

в) $\sqrt[8]{a^{25}b^{16}}$

Показатель корня четный (8), значит, подкоренное выражение $a^{25}b^{16}$ должно быть неотрицательным. Так как $b^{16} = (b^8)^2 \ge 0$ для любого $b$, то для неотрицательности всего выражения необходимо, чтобы $a^{25} \ge 0$, что выполняется при $a \ge 0$.

Рассмотрим степени каждого множителя отдельно.

Для $a^{25}$: разделим 25 на 8. $25 \div 8 = \mathbf{3}$ (остаток 1). Значит, $a^{25} = a^{24} \cdot a = (a^3)^8 \cdot a$.

Для $b^{16}$: разделим 16 на 8. $16 \div 8 = \mathbf{2}$ (остаток 0). Значит, $b^{16} = (b^2)^8$.

Подставляем полученные выражения обратно под корень:

$\sqrt[8]{a^{25}b^{16}} = \sqrt[8]{(a^3)^8 \cdot a \cdot (b^2)^8} = \sqrt[8]{(a^3)^8 \cdot (b^2)^8 \cdot a}$

Выносим множители, степени которых кратны 8, из-под знака корня:

$\sqrt[8]{(a^3)^8} \cdot \sqrt[8]{(b^2)^8} \cdot \sqrt[8]{a} = |a^3| \cdot |b^2| \cdot \sqrt[8]{a}$

Раскрываем модули: так как $a \ge 0$, то $a^3 \ge 0$ и $|a^3| = a^3$. Выражение $b^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|b^2| = b^2$.

Ответ: $a^3b^2\sqrt[8]{a}$