Номер 2.151, страница 189 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.151. Упростите выражение:

a) $7\sqrt[3]{16};$

б) $0,3\sqrt[3]{500};$

в) $-5\sqrt[4]{80};$

г) $\frac{\sqrt[5]{900000}}{2};$

д) $-\frac{7\sqrt[5]{486}}{3};$

е) $-\frac{\sqrt[7]{256}}{4}.$

а) $7\sqrt[3]{16}$

Чтобы упростить выражение, вынесем множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был точным кубом.

Число 16 можно представить как $8 \cdot 2$. Число 8 является кубом числа 2, так как $2^3 = 8$.

$7\sqrt[3]{16} = 7\sqrt[3]{8 \cdot 2} = 7 \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 7 \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{2} = 14\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $14\sqrt[3]{2}$.

б) $0,3\sqrt[3]{500}$

Разложим число 500 на множители, один из которых является точным кубом.

$500 = 125 \cdot 4$. Число 125 является кубом числа 5, так как $5^3 = 125$.

$0,3\sqrt[3]{500} = 0,3\sqrt[3]{125 \cdot 4} = 0,3 \cdot \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{4} = 0,3 \cdot 5 \cdot \sqrt[3]{4} = 1,5\sqrt[3]{4}$.

Представим десятичную дробь 1,5 в виде неправильной дроби: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.

Выделим целую часть из дроби $\frac{3}{2}$: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Таким образом, выражение равно $1\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}$.

Ответ: $1\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}$.

в) $-5\sqrt[4]{80}$

Упростим выражение, вынеся множитель из-под знака корня четвертой степени. Разложим 80 на множители.

$80 = 16 \cdot 5$. Число 16 является четвертой степенью числа 2, так как $2^4 = 16$.

$-5\sqrt[4]{80} = -5\sqrt[4]{16 \cdot 5} = -5 \cdot \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{5} = -5 \cdot 2 \cdot \sqrt[4]{5} = -10\sqrt[4]{5}$.

Ответ: $-10\sqrt[4]{5}$.

г) $\frac{\sqrt[5]{900000}}{2}$

Упростим выражение, вынеся множитель из-под знака корня пятой степени. Разложим подкоренное выражение 900 000 на множители.

$900000 = 9 \cdot 100000 = 9 \cdot 10^5$.

$\frac{\sqrt[5]{900000}}{2} = \frac{\sqrt[5]{9 \cdot 10^5}}{2} = \frac{\sqrt[5]{10^5} \cdot \sqrt[5]{9}}{2} = \frac{10\sqrt[5]{9}}{2}$.

Сократим дробь:

$\frac{10\sqrt[5]{9}}{2} = 5\sqrt[5]{9}$.

Ответ: $5\sqrt[5]{9}$.

д) $-\frac{7\sqrt[5]{486}}{3}$

Вынесем множитель из-под знака корня пятой степени. Разложим число 486 на множители.

$486 = 2 \cdot 243$. Число 243 является пятой степенью числа 3, так как $3^5 = 243$.

$-\frac{7\sqrt[5]{486}}{3} = -\frac{7\sqrt[5]{3^5 \cdot 2}}{3} = -\frac{7 \cdot \sqrt[5]{3^5} \cdot \sqrt[5]{2}}{3} = -\frac{7 \cdot 3 \cdot \sqrt[5]{2}}{3}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$-\frac{7 \cdot 3 \cdot \sqrt[5]{2}}{3} = -7\sqrt[5]{2}$.

Ответ: $-7\sqrt[5]{2}$.

е) $-\frac{\sqrt[7]{256}}{4}$

Упростим выражение, вынеся множитель из-под знака корня седьмой степени. Разложим число 256 на множители.

$256 = 2^8 = 2^7 \cdot 2$.

$-\frac{\sqrt[7]{256}}{4} = -\frac{\sqrt[7]{2^7 \cdot 2}}{4} = -\frac{\sqrt[7]{2^7} \cdot \sqrt[7]{2}}{4} = -\frac{2\sqrt[7]{2}}{4}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$-\frac{2\sqrt[7]{2}}{4} = -\frac{\sqrt[7]{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt[7]{2}}{2}$.