Номер 2.145, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.145. Верно ли, что значение выражения является иррациональным числом:

а) $\frac{\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1}{(\sqrt[3]{9}+\sqrt{3})^2};$

б) $\frac{(\sqrt{3}-\sqrt[4]{45})^2}{1-2\sqrt[4]{5}+\sqrt{5}}?$

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо упростить каждое выражение и определить, является ли полученное число рациональным или иррациональным. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Иррациональное число не может быть представлено в таком виде.

а) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1}{(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2}$.
Для упрощения введем замену: пусть $x = \sqrt[6]{3}$.
Тогда:

• $\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}} = (3^{\frac{1}{6}})^2 = x^2$
• $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} = (3^{\frac{1}{6}})^3 = x^3$
• $\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}} = (3^{\frac{1}{6}})^4 = x^4$

Подставим эти значения в исходное выражение.
Числитель можно представить в виде полного квадрата: $$ \sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1 = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 $$ Знаменатель преобразуем следующим образом: $$ (\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2 = (x^4 + x^3)^2 = (x^3(x+1))^2 = x^6(x+1)^2 $$ Теперь запишем все выражение с новой переменной и сократим его: $$ \frac{(x+1)^2}{x^6(x+1)^2} = \frac{1}{x^6} $$ Вернемся к исходной переменной, подставив $x = \sqrt[6]{3}$: $$ \frac{1}{(\sqrt[6]{3})^6} = \frac{1}{3} $$ Значение выражения равно $\frac{1}{3}$. Это рациональное число. Следовательно, утверждение, что значение выражения является иррациональным числом, неверно.
Ответ: Нет.

б) Рассмотрим выражение $\frac{(\sqrt{3} - \sqrt[4]{45})^2}{1 - 2\sqrt[4]{5} + \sqrt{5}}$.
Упростим числитель и знаменатель по отдельности.
Преобразуем числитель, заметив, что $\sqrt[4]{45} = \sqrt[4]{9 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^2 \cdot 5} = \sqrt{3}\sqrt[4]{5}$: $$ (\sqrt{3} - \sqrt[4]{45})^2 = (\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt[4]{5})^2 = (\sqrt{3}(1 - \sqrt[4]{5}))^2 = (\sqrt{3})^2(1 - \sqrt[4]{5})^2 = 3(1 - \sqrt[4]{5})^2 $$ Теперь преобразуем знаменатель. Заметим, что он представляет собой формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Если принять $a=1$ и $b=\sqrt[4]{5}$, то $b^2 = (\sqrt[4]{5})^2 = \sqrt{5}$. $$ 1 - 2\sqrt[4]{5} + \sqrt{5} = (1 - \sqrt[4]{5})^2 $$ Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь: $$ \frac{3(1 - \sqrt[4]{5})^2}{(1 - \sqrt[4]{5})^2} $$ Так как $\sqrt[4]{5} \neq 1$, то $(1 - \sqrt[4]{5})^2 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на это выражение: $$ 3 $$ Значение выражения равно $3$. Это целое, а значит, и рациональное число. Следовательно, утверждение, что значение выражения является иррациональным числом, неверно.
Ответ: Нет.