Номер 2.147, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.147. Упростите выражение:

а) $\frac{20}{\sqrt[3]{25}} + \sqrt[3]{5}$;

б) $\sqrt[5]{2} - \frac{24}{\sqrt[5]{16}}$.

a) Упростим выражение $\frac{20}{\sqrt[3]{25}} + \sqrt[3]{5}$.

Сначала преобразуем первое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Знаменатель $\sqrt[3]{25}$ можно представить как $\sqrt[3]{5^2}$. Чтобы получить под корнем в знаменателе число в третьей степени, домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt[3]{5}$.

$\frac{20}{\sqrt[3]{25}} = \frac{20}{\sqrt[3]{5^2}} = \frac{20 \cdot \sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5^2} \cdot \sqrt[3]{5}} = \frac{20\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5^3}} = \frac{20\sqrt[3]{5}}{5}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{20\sqrt[3]{5}}{5} = 4\sqrt[3]{5}$

Теперь подставим результат в исходное выражение и выполним сложение:

$4\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{5} = (4+1)\sqrt[3]{5} = 5\sqrt[3]{5}$

Ответ: $5\sqrt[3]{5}$.

б) Упростим выражение $\sqrt[5]{2} - \frac{24}{\sqrt[5]{16}}$.

Преобразуем второе слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Знаменатель $\sqrt[5]{16}$ можно представить как $\sqrt[5]{2^4}$. Чтобы получить под корнем в знаменателе число в пятой степени, домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt[5]{2}$.

$\frac{24}{\sqrt[5]{16}} = \frac{24}{\sqrt[5]{2^4}} = \frac{24 \cdot \sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{2^4} \cdot \sqrt[5]{2}} = \frac{24\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{24\sqrt[5]{2}}{2}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{24\sqrt[5]{2}}{2} = 12\sqrt[5]{2}$

Теперь подставим результат в исходное выражение и выполним вычитание:

$\sqrt[5]{2} - 12\sqrt[5]{2} = (1-12)\sqrt[5]{2} = -11\sqrt[5]{2}$

Ответ: $-11\sqrt[5]{2}$.