Номер 2.140, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.140. Сократите дробь:

а) $\frac{\sqrt[3]{11} - 11}{\sqrt[3]{11}}$;

б) $\frac{\sqrt[4]{48}}{3 + \sqrt[4]{3}}$;

в) $\frac{\sqrt[3]{5} + 1}{\sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{3}}$;

г) $\frac{2 - \sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{162} - 6}$.

а) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt[3]{11} - 11}{\sqrt[3]{11}}$ представим число 11 в числителе как куб кубического корня из 11, то есть $11 = (\sqrt[3]{11})^3$.

$\frac{\sqrt[3]{11} - 11}{\sqrt[3]{11}} = \frac{\sqrt[3]{11} - (\sqrt[3]{11})^3}{\sqrt[3]{11}}$

Вынесем в числителе общий множитель $\sqrt[3]{11}$ за скобки:

$\frac{\sqrt[3]{11}(1 - (\sqrt[3]{11})^2)}{\sqrt[3]{11}}$

Сократим дробь на $\sqrt[3]{11}$:

$1 - (\sqrt[3]{11})^2 = 1 - \sqrt[3]{11^2} = 1 - \sqrt[3]{121}$

Другой способ — почленное деление:

$\frac{\sqrt[3]{11} - 11}{\sqrt[3]{11}} = \frac{\sqrt[3]{11}}{\sqrt[3]{11}} - \frac{11}{\sqrt[3]{11}} = 1 - \frac{(\sqrt[3]{11})^3}{\sqrt[3]{11}} = 1 - (\sqrt[3]{11})^2 = 1 - \sqrt[3]{121}$

Ответ: $1 - \sqrt[3]{121}$.

б) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt[4]{48}}{3 + \sqrt[4]{3}}$ упростим сначала числитель. Разложим 48 на множители: $48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$.

$\sqrt[4]{48} = \sqrt[4]{16 \cdot 3} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{3} = 2\sqrt[4]{3}$.

Теперь преобразуем знаменатель. Представим число 3 как степень четвертого корня из 3: $3 = (\sqrt[4]{3})^4$.

$3 + \sqrt[4]{3} = (\sqrt[4]{3})^4 + \sqrt[4]{3}$

Вынесем общий множитель $\sqrt[4]{3}$ за скобки:

$\sqrt[4]{3}((\sqrt[4]{3})^3 + 1) = \sqrt[4]{3}(\sqrt[4]{27} + 1)$

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$\frac{2\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}(\sqrt[4]{27} + 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $\sqrt[4]{3}$:

$\frac{2}{1 + \sqrt[4]{27}}$

Ответ: $\frac{2}{1 + \sqrt[4]{27}}$.

в) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt[3]{5} + 1}{\sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{3}}$ преобразуем знаменатель, вынеся общий множитель.

$\sqrt[3]{15} = \sqrt[3]{5 \cdot 3} = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{3}$.

Знаменатель примет вид:

$\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3}$

Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{3}$ за скобки:

$\sqrt[3]{3}(\sqrt[3]{5} + 1)$

Теперь подставим это выражение в дробь:

$\frac{\sqrt[3]{5} + 1}{\sqrt[3]{3}(\sqrt[3]{5} + 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[3]{5} + 1)$:

$\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$:

$\frac{1 \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}} = \frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt[3]{9}}{3}$.

г) Для сокращения дроби $\frac{2 - \sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{162} - 6}$ упростим знаменатель.

Разложим подкоренное выражение 162 на множители: $162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2$.

$\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{81 \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}$.

Знаменатель примет вид:

$3\sqrt[4]{2} - 6$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3(\sqrt[4]{2} - 2)$

Подставим упрощенный знаменатель в дробь:

$\frac{2 - \sqrt[4]{2}}{3(\sqrt[4]{2} - 2)}$

Заметим, что числитель и выражение в скобках в знаменателе отличаются только знаком:

$2 - \sqrt[4]{2} = -(\sqrt[4]{2} - 2)$

Перепишем дробь:

$\frac{-(\sqrt[4]{2} - 2)}{3(\sqrt[4]{2} - 2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[4]{2} - 2)$:

$-\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.