Номер 2.134, страница 187 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.134. Выполните действия:

a) $(x^2 + \sqrt{y})(x - \sqrt[4]{y})(x + \sqrt[4]{y});$

б) $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}).$

a) $(x^2 + \sqrt{y})(x - \sqrt[4]{y})(x + \sqrt[4]{y})$

Для решения этого примера мы дважды воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

1. Сначала обратим внимание на последние два множителя: $(x - \sqrt[4]{y})$ и $(x + \sqrt[4]{y})$. Они полностью соответствуют формуле разности квадратов, где $a=x$ и $b=\sqrt[4]{y}$.

Применим формулу:

$(x - \sqrt[4]{y})(x + \sqrt[4]{y}) = x^2 - (\sqrt[4]{y})^2 = x^2 - (y^{1/4})^2 = x^2 - y^{2/4} = x^2 - y^{1/2} = x^2 - \sqrt{y}$

2. Теперь исходное выражение упростилось до следующего вида:

$(x^2 + \sqrt{y})(x^2 - \sqrt{y})$

3. Мы снова видим формулу разности квадратов, но теперь $a=x^2$ и $b=\sqrt{y}$. Применим ее еще раз:

$(x^2 + \sqrt{y})(x^2 - \sqrt{y}) = (x^2)^2 - (\sqrt{y})^2 = x^4 - y$

Ответ: $x^4 - y$.

б) $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$

Здесь мы также будем использовать формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

1. Рассмотрим произведение последних двух множителей. Для удобства применения формулы, поменяем слагаемые во второй скобке местами (от этого сумма не изменится): $(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) = (\sqrt[4]{b} + \sqrt[4]{a})$.

Теперь произведение последних двух множителей выглядит так:

$(\sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a})(\sqrt[4]{b} + \sqrt[4]{a})$

Применяем формулу разности квадратов, где $a=\sqrt[4]{b}$ и $b=\sqrt[4]{a}$:

$(\sqrt[4]{b})^2 - (\sqrt[4]{a})^2 = (b^{1/4})^2 - (a^{1/4})^2 = b^{1/2} - a^{1/2} = \sqrt{b} - \sqrt{a}$

2. Подставим полученный результат в исходное выражение:

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{b} - \sqrt{a})$

3. Чтобы сделать формулу более очевидной, поменяем слагаемые в первой скобке местами:

$(\sqrt{b} + \sqrt{a})(\sqrt{b} - \sqrt{a})$

4. Снова применяем формулу разности квадратов, где на этот раз $a=\sqrt{b}$ и $b=\sqrt{a}$:

$(\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2 = b - a$

Ответ: $b - a$.