Номер 2.129, страница 187 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.129. Периметр прямоугольника равен $12\sqrt[4]{2}$ см, а одна из его сторон равна $3\sqrt[4]{2}$ см. Найдите площадь прямоугольника.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$. По условию задачи, периметр $P$ равен $12\sqrt[4]{2}$ см, а одна из сторон, пусть это будет сторона $a$, равна $3\sqrt[4]{2}$ см.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$

Для начала найдем сумму длин двух смежных сторон $(a+b)$, разделив периметр на 2: $a + b = \frac{P}{2} = \frac{12\sqrt[4]{2}}{2} = 6\sqrt[4]{2}$ см.

Теперь, зная сумму сторон и одну из сторон, найдем вторую сторону $b$: $b = (a + b) - a = 6\sqrt[4]{2} - 3\sqrt[4]{2} = (6 - 3)\sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}$ см.

Мы видим, что $a = b$, значит, данный прямоугольник является квадратом.

Площадь прямоугольника $S$ находится по формуле: $S = a \cdot b$

Подставим значения сторон $a$ и $b$ в формулу площади: $S = 3\sqrt[4]{2} \cdot 3\sqrt[4]{2} = (3 \cdot 3) \cdot (\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{2}) = 9 \cdot (\sqrt[4]{2})^2$

Используя свойство степеней и корней $(\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$, упростим выражение: $S = 9 \cdot \sqrt[4]{2^2} = 9 \cdot \sqrt[4]{4}$

Так как $\sqrt[4]{4} = \sqrt{\sqrt{4}} = \sqrt{2}$, то окончательно получаем: $S = 9\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $9\sqrt{2}$ см$^2$.