Номер 2.132, страница 187 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.132. Примените формулу разности квадратов и вычислите:

а) $(1 + \sqrt{7})(1 + \sqrt[4]{7})(1 - \sqrt[4]{7});$

б) $(\sqrt{5} + \sqrt{17})(\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{17})(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{17});$

в) $(25 + \sqrt{3})(5 + \sqrt[4]{3})(5 - \sqrt[4]{3});$

г) $(\sqrt[4]{36} + 1)(\sqrt[8]{36} + 1)(\sqrt[8]{36} - 1).$

Для решения всех пунктов будем использовать формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

а) Вычислим значение выражения $(1 + \sqrt{7})(1 + \sqrt[4]{7})(1 - \sqrt[4]{7})$.
Сначала сгруппируем последние два множителя и применим к ним формулу разности квадратов, где $a=1$ и $b=\sqrt[4]{7}$: $$(1 + \sqrt[4]{7})(1 - \sqrt[4]{7}) = 1^2 - (\sqrt[4]{7})^2 = 1 - \sqrt{7}$$ Теперь исходное выражение принимает вид: $$(1 + \sqrt{7})(1 - \sqrt{7})$$ Снова применяем формулу разности квадратов, где $a=1$ и $b=\sqrt{7}$: $$1^2 - (\sqrt{7})^2 = 1 - 7 = -6$$ Ответ: -6.

б) Вычислим значение выражения $(\sqrt{5} + \sqrt{17})(\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{17})(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{17})$.
Сгруппируем последние два множителя и применим к ним формулу разности квадратов, где $a=\sqrt[4]{5}$ и $b=\sqrt[4]{17}$: $$(\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{17})(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{17}) = (\sqrt[4]{5})^2 - (\sqrt[4]{17})^2 = \sqrt{5} - \sqrt{17}$$ Теперь исходное выражение принимает вид: $$(\sqrt{5} + \sqrt{17})(\sqrt{5} - \sqrt{17})$$ Снова применяем формулу разности квадратов, где $a=\sqrt{5}$ и $b=\sqrt{17}$: $$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{17})^2 = 5 - 17 = -12$$ Ответ: -12.

в) Вычислим значение выражения $(25 + \sqrt{3})(5 + \sqrt[4]{3})(5 - \sqrt[4]{3})$.
Сгруппируем последние два множителя и применим к ним формулу разности квадратов, где $a=5$ и $b=\sqrt[4]{3}$: $$(5 + \sqrt[4]{3})(5 - \sqrt[4]{3}) = 5^2 - (\sqrt[4]{3})^2 = 25 - \sqrt{3}$$ Теперь исходное выражение принимает вид: $$(25 + \sqrt{3})(25 - \sqrt{3})$$ Снова применяем формулу разности квадратов, где $a=25$ и $b=\sqrt{3}$: $$25^2 - (\sqrt{3})^2 = 625 - 3 = 622$$ Ответ: 622.

г) Вычислим значение выражения $(\sqrt[4]{36} + 1)(\sqrt[8]{36} + 1)(\sqrt[8]{36} - 1)$.
Сгруппируем последние два множителя и применим к ним формулу разности квадратов, где $a=\sqrt[8]{36}$ и $b=1$: $$(\sqrt[8]{36} + 1)(\sqrt[8]{36} - 1) = (\sqrt[8]{36})^2 - 1^2 = \sqrt[4]{36} - 1$$ Теперь исходное выражение принимает вид: $$(\sqrt[4]{36} + 1)(\sqrt[4]{36} - 1)$$ Снова применяем формулу разности квадратов, где $a=\sqrt[4]{36}$ и $b=1$: $$(\sqrt[4]{36})^2 - 1^2 = \sqrt{36} - 1$$ Вычисляем конечный результат: $$\sqrt{36} - 1 = 6 - 1 = 5$$ Ответ: 5.