Номер 2.148, страница 189 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.148. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{1}{(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

б)* $\frac{7}{\sqrt[4]{5} - \sqrt{3}}$

a) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$, мы будем последовательно применять формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Сначала умножим числитель и знаменатель на выражение $(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})$, сопряженное к первому множителю в знаменателе:

$ \frac{1 \cdot (\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})}{(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} $

Произведение первых двух множителей в знаменателе равно:

$ (\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2}) = (\sqrt[4]{3})^2 - (\sqrt[4]{2})^2 = \sqrt{3} - \sqrt{2} $

Теперь наша дробь имеет вид:

$ \frac{\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} $

В знаменателе снова получилось выражение, к которому можно применить формулу разности квадратов:

$ (\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1 $

В итоге получаем:

$ \frac{\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2}}{1} = \sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2} $

Ответ: $\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2}$.

б)*

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{7}{\sqrt[4]{5} - \sqrt{3}}$, применим формулу разности квадратов в два этапа.

Этап 1: Умножим числитель и знаменатель на выражение $(\sqrt[4]{5} + \sqrt{3})$:

$ \frac{7(\sqrt[4]{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt[4]{5} - \sqrt{3})(\sqrt[4]{5} + \sqrt{3})} = \frac{7(\sqrt[4]{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt[4]{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{7(\sqrt[4]{5} + \sqrt{3})}{\sqrt{5} - 3} $

Этап 2: Теперь в знаменателе выражение вида $\sqrt{a}-b$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к нему выражение $(\sqrt{5} + 3)$:

$ \frac{7(\sqrt[4]{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + 3)}{(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 3)} = \frac{7(\sqrt[4]{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + 3)}{(\sqrt{5})^2 - 3^2} = \frac{7(\sqrt[4]{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + 3)}{5 - 9} = \frac{7(\sqrt[4]{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + 3)}{-4} $

Раскроем скобки в числителе, чтобы получить окончательный ответ:

$ (\sqrt[4]{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + 3) = \sqrt[4]{5}\sqrt{5} + 3\sqrt[4]{5} + \sqrt{3}\sqrt{5} + 3\sqrt{3} $

$ = 5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} + 3\sqrt[4]{5} + \sqrt{15} + 3\sqrt{3} = 5^{\frac{3}{4}} + 3\sqrt[4]{5} + \sqrt{15} + 3\sqrt{3} = \sqrt[4]{125} + 3\sqrt[4]{5} + \sqrt{15} + 3\sqrt{3} $

Таким образом, итоговое выражение равно:

$ -\frac{7}{4}(\sqrt[4]{125} + 3\sqrt[4]{5} + \sqrt{15} + 3\sqrt{3}) $

Выделим целую часть из неправильной дроби $-\frac{7}{4}$: $ -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} $.

Ответ: $-1\frac{3}{4}(\sqrt[4]{125} + 3\sqrt[4]{5} + \sqrt{15} + 3\sqrt{3})$.