Номер 2.153, страница 189 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.153. Зная, что $m < 0, n \ge 0$, вынесите множитель за знак корня в выражении:

а) $\sqrt[4]{5n^4}$;

б) $\sqrt[6]{7m^6}$;

в) $\sqrt[4]{48m^8n^{12}};

г) $\sqrt[6]{3m^6n^{13}};

д) $\sqrt[8]{2m^{16}n^{32}};

е) $\sqrt[10]{5m^{30}n^{50}}.

а) В выражении $\sqrt[4]{5n^4}$ показатель корня 4 (четный). Чтобы вынести множитель из-под знака корня, воспользуемся свойством $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$.
$\sqrt[4]{5n^4} = \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{n^4} = \sqrt[4]{5} \cdot |n|$.
По условию задачи $n \ge 0$, поэтому $|n| = n$.
Таким образом, $\sqrt[4]{5n^4} = n\sqrt[4]{5}$.
Ответ: $n\sqrt[4]{5}$

б) В выражении $\sqrt[6]{7m^6}$ показатель корня 6 (четный). Используем свойство $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$.
$\sqrt[6]{7m^6} = \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{m^6} = \sqrt[6]{7} \cdot |m|$.
По условию задачи $m < 0$, поэтому $|m| = -m$.
Таким образом, $\sqrt[6]{7m^6} = -m\sqrt[6]{7}$.
Ответ: $-m\sqrt[6]{7}$

в) В выражении $\sqrt[4]{48m^8n^{12}}$ показатель корня 4 (четный).
Разложим подкоренное выражение. Числовой коэффициент $48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$.
Для переменных выделим степени, кратные показателю корня 4.
Для $m^8$: показатель степени 8. Целая часть от деления $8 \div 4$ равна 2. Значит, $m^8 = (m^2)^4$.
Для $n^{12}$: показатель степени 12. Целая часть от деления $12 \div 4$ равна 3. Значит, $n^{12} = (n^3)^4$.
$\sqrt[4]{48m^8n^{12}} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3 \cdot (m^2)^4 \cdot (n^3)^4} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{(m^2)^4} \cdot \sqrt[4]{(n^3)^4} \cdot \sqrt[4]{3}$.
Выносим множители, используя правило $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$: $|2| \cdot |m^2| \cdot |n^3| \cdot \sqrt[4]{3}$.
Раскроем модули с учетом условий $m < 0$ и $n \ge 0$:
$|2| = 2$.
$|m^2| = m^2$, так как квадрат ненулевого числа всегда положителен.
$|n^3| = n^3$, так как если $n \ge 0$, то и $n^3 \ge 0$.
Итоговый результат: $2m^2n^3\sqrt[4]{3}$.
Ответ: $2m^2n^3\sqrt[4]{3}$

г) В выражении $\sqrt[6]{3m^6n^{13}}$ показатель корня 6 (четный).
Разложим подкоренное выражение.
Для $m^6$ показатель степени равен показателю корня.
Для $n^{13}$ представим степень как $n^{12} \cdot n$. Показатель 12 кратен 6. Целая часть от деления $13 \div 6$ равна 2.
$\sqrt[6]{3m^6n^{13}} = \sqrt[6]{3 \cdot m^6 \cdot n^{12} \cdot n} = \sqrt[6]{m^6 \cdot (n^2)^6 \cdot 3n}$.
Выносим множители, используя правило $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$: $\sqrt[6]{m^6} \cdot \sqrt[6]{(n^2)^6} \cdot \sqrt[6]{3n} = |m| \cdot |n^2| \cdot \sqrt[6]{3n}$.
Раскроем модули с учетом условий $m < 0$ и $n \ge 0$:
$|m| = -m$.
$|n^2| = n^2$, так как квадрат числа всегда неотрицателен.
Итоговый результат: $-mn^2\sqrt[6]{3n}$.
Ответ: $-mn^2\sqrt[6]{3n}$

д) В выражении $\sqrt[8]{2m^{16}n^{32}}$ показатель корня 8 (четный).
Для $m^{16}$: показатель степени 16. Целая часть от деления $16 \div 8$ равна 2. Значит, $m^{16} = (m^2)^8$.
Для $n^{32}$: показатель степени 32. Целая часть от деления $32 \div 8$ равна 4. Значит, $n^{32} = (n^4)^8$.
$\sqrt[8]{2m^{16}n^{32}} = \sqrt[8]{2 \cdot (m^2)^8 \cdot (n^4)^8} = \sqrt[8]{(m^2)^8} \cdot \sqrt[8]{(n^4)^8} \cdot \sqrt[8]{2}$.
Выносим множители, используя правило $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$: $|m^2| \cdot |n^4| \cdot \sqrt[8]{2}$.
Раскроем модули с учетом условий $m < 0$ и $n \ge 0$:
$|m^2| = m^2$, так как квадрат ненулевого числа всегда положителен.
$|n^4| = n^4$, так как если $n \ge 0$, то и $n^4 \ge 0$.
Итоговый результат: $m^2n^4\sqrt[8]{2}$.
Ответ: $m^2n^4\sqrt[8]{2}$

е) В выражении $\sqrt[10]{5m^{30}n^{50}}$ показатель корня 10 (четный).
Для $m^{30}$: показатель степени 30. Целая часть от деления $30 \div 10$ равна 3. Значит, $m^{30} = (m^3)^{10}$.
Для $n^{50}$: показатель степени 50. Целая часть от деления $50 \div 10$ равна 5. Значит, $n^{50} = (n^5)^{10}$.
$\sqrt[10]{5m^{30}n^{50}} = \sqrt[10]{5 \cdot (m^3)^{10} \cdot (n^5)^{10}} = \sqrt[10]{(m^3)^{10}} \cdot \sqrt[10]{(n^5)^{10}} \cdot \sqrt[10]{5}$.
Выносим множители, используя правило $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$: $|m^3| \cdot |n^5| \cdot \sqrt[10]{5}$.
Раскроем модули с учетом условий $m < 0$ и $n \ge 0$:
$|m^3| = -m^3$, так как если $m < 0$, то и $m^3 < 0$.
$|n^5| = n^5$, так как если $n \ge 0$, то и $n^5 \ge 0$.
Итоговый результат: $-m^3n^5\sqrt[10]{5}$.
Ответ: $-m^3n^5\sqrt[10]{5}$