Номер 2.155, страница 189 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.155. Вынесите множитель за знак корня:

а) $\sqrt[4]{16a^4b}$, если $a > 0$;

б) $\sqrt[4]{32m^{12}n^{13}}$, если $m \le 0$;

в) $\sqrt[6]{729x^{13}y^{19}}$, если $x < 0, y < 0$.

а) Вынесем множитель за знак корня в выражении $\sqrt[4]{16a^4b}$ при условии $a > 0$.

Для этого представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, которые являются полными четвертыми степенями.

1. Разложим на множители подкоренное выражение:
   • Числовой коэффициент: $16 = 2^4$.
   • Переменные: $a^4$ уже является четвертой степенью. Степень $b$ равна 1, что меньше 4, поэтому $b$ останется под знаком корня.
2. Перепишем выражение:

   $\sqrt[4]{16a^4b} = \sqrt[4]{2^4 \cdot a^4 \cdot b}$

3. Используя свойство корня из произведения $\sqrt[n]{xyz} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}\sqrt[n]{z}$, получаем:

   $\sqrt[4]{2^4 \cdot a^4 \cdot b} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b}$

4. Извлечем корень. Для корня четной степени ($n=4$) справедливо $\sqrt[n]{x^n} = |x|$.

   $\sqrt[4]{2^4} = |2| = 2$

   $\sqrt[4]{a^4} = |a|$

5. Учтем заданное условие $a > 0$. В этом случае модуль раскрывается как $|a| = a$.
6. Соединяем все части вместе:

   $2 \cdot a \cdot \sqrt[4]{b} = 2a\sqrt[4]{b}$

Ответ: $\mathbf{2a}\sqrt[4]{b}$

б) Вынесем множитель за знак корня в выражении $\sqrt[4]{32m^{12}n^{13}}$ при условии $m \le 0$.

Найдем в подкоренном выражении множители, являющиеся полными четвертыми степенями.

1. Разложим на множители:
   • $32 = 16 \cdot 2 = 2^4 \cdot 2$
   • $m^{12} = (m^3)^4$
   • $n^{13} = n^{12} \cdot n = (n^3)^4 \cdot n$
2. Перепишем выражение, сгруппировав полные степени:

   $\sqrt[4]{32m^{12}n^{13}} = \sqrt[4]{(2^4 \cdot (m^3)^4 \cdot (n^3)^4) \cdot 2n}$

3. Вынесем множители за знак корня, используя правило $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$:

   $\sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{(m^3)^4} \cdot \sqrt[4]{(n^3)^4} \cdot \sqrt[4]{2n} = |2| \cdot |m^3| \cdot |n^3| \cdot \sqrt[4]{2n} = 2|m^3||n^3|\sqrt[4]{2n}$

4. Проанализируем условия. Для существования корня четной степени в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $32m^{12}n^{13} \ge 0$. Так как $32 > 0$ и $m^{12} \ge 0$ для любого $m$, то необходимо, чтобы $n^{13} \ge 0$, что означает $n \ge 0$.
5. Раскроем модули с учетом заданных и выведенных условий:
   • По условию $m \le 0$. Это значит, что $m^3 \le 0$, следовательно $|m^3| = -m^3$.
   • Мы установили, что $n \ge 0$. Это значит, что $n^3 \ge 0$, следовательно $|n^3| = n^3$.
6. Подставим полученные выражения для модулей:

   $2 \cdot (-m^3) \cdot n^3 \cdot \sqrt[4]{2n} = -2m^3n^3\sqrt[4]{2n}$

Ответ: $\mathbf{-2m^3n^3}\sqrt[4]{2n}$

в) Вынесем множитель за знак корня в выражении $\sqrt[6]{729x^{13}y^{19}}$ при условии $x < 0, y < 0$.

Найдем в подкоренном выражении множители, являющиеся полными шестыми степенями.

1. Разложим на множители:
   • $729 = 3^6$.
   • $x^{13} = x^{12} \cdot x = (x^2)^6 \cdot x$.
   • $y^{19} = y^{18} \cdot y = (y^3)^6 \cdot y$.
2. Перепишем выражение, сгруппировав полные степени:

   $\sqrt[6]{729x^{13}y^{19}} = \sqrt[6]{(3^6 \cdot (x^2)^6 \cdot (y^3)^6) \cdot xy}$

3. Вынесем множители за знак корня, используя правило $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n=6$:

   $\sqrt[6]{3^6} \cdot \sqrt[6]{(x^2)^6} \cdot \sqrt[6]{(y^3)^6} \cdot \sqrt[6]{xy} = |3| \cdot |x^2| \cdot |y^3| \cdot \sqrt[6]{xy} = 3|x^2||y^3|\sqrt[6]{xy}$

4. Проверим область определения. Подкоренное выражение $729x^{13}y^{19}$ должно быть неотрицательным. При $x < 0$ и $y < 0$ имеем $x^{13} < 0$ и $y^{19} < 0$. Произведение $x^{13}y^{19}$ будет положительным. Таким образом, выражение определено. Выражение, остающееся под корнем, $xy$, также положительно, так как является произведением двух отрицательных чисел.
5. Раскроем модули с учетом условий $x < 0, y < 0$:
   • Выражение $x^2$ всегда неотрицательно. Так как $x < 0$, то $x^2 > 0$, поэтому $|x^2| = x^2$.
   • При $y < 0$, выражение $y^3$ отрицательно, поэтому $|y^3| = -y^3$.
6. Подставим раскрытые модули в итоговое выражение:

   $3 \cdot x^2 \cdot (-y^3) \cdot \sqrt[6]{xy} = -3x^2y^3\sqrt[6]{xy}$

Ответ: $\mathbf{-3x^2y^3}\sqrt[6]{xy}$