Номер 2.161, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.161. Упростите выражение:

а) $\sqrt{b\sqrt[5]{b}}$;

б) $\sqrt[5]{b\sqrt[4]{b}}$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt{b\sqrt[5]{b}}$ будем последовательно вносить множители под знаки корней, а затем использовать свойства корней.

1. Внесем множитель $b$, стоящий перед внутренним корнем, под знак этого корня. Чтобы внести множитель под корень n-ой степени, его нужно возвести в n-ую степень. В нашем случае вносим $b$ под корень 5-ой степени, поэтому возводим $b$ в 5-ую степень:
   $\sqrt{b\sqrt[5]{b}} = \sqrt{\sqrt[5]{b^5 \cdot b}}$
2. Упростим выражение под внутренним корнем, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
   $\sqrt{\sqrt[5]{b^5 \cdot b^1}} = \sqrt{\sqrt[5]{b^{5+1}}} = \sqrt{\sqrt[5]{b^6}}$
3. Теперь воспользуемся свойством "корень из корня": $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$. Показатель внешнего (квадратного) корня равен 2.
   $\sqrt[2]{\sqrt[5]{b^6}} = \sqrt[2 \cdot 5]{b^6} = \sqrt[10]{b^6}$
4. Полученный корень можно упростить. Для этого нужно разделить показатель корня (10) и показатель степени подкоренного выражения (6) на их наибольший общий делитель, который равен 2.
   $\sqrt[10 \div 2]{b^{6 \div 2}} = \sqrt[5]{b^3}$

В итоговом выражении $\sqrt[5]{b^3}$ показатель степени подкоренного выражения (3) меньше показателя корня (5). Это означает, что дробный показатель степени $3/5$ является правильной дробью, и выделение целой части не требуется.

Ответ: $\sqrt[5]{b^3}$

б) Упростим выражение $\sqrt[5]{b\sqrt[4]{b}}$ аналогичным образом, используя метод внесения множителя под знак корня.

1. Внесем множитель $b$ под знак внутреннего корня четвертой степени, возведя его в 4-ю степень:
   $\sqrt[5]{b\sqrt[4]{b}} = \sqrt[5]{\sqrt[4]{b^4 \cdot b}}$
2. Упростим выражение под внутренним корнем:
   $\sqrt[5]{\sqrt[4]{b^4 \cdot b^1}} = \sqrt[5]{\sqrt[4]{b^{4+1}}} = \sqrt[5]{\sqrt[4]{b^5}}$
3. Применим свойство "корень из корня" $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$:
   $\sqrt[5 \cdot 4]{b^5} = \sqrt[20]{b^5}$
4. Упростим полученный корень, разделив показатель корня (20) и показатель степени (5) на их наибольший общий делитель, равный 5:
   $\sqrt[20 \div 5]{b^{5 \div 5}} = \sqrt[4]{b^1} = \sqrt[4]{b}$

В итоговом выражении $\sqrt[4]{b}$ показатель степени подкоренного выражения (1) меньше показателя корня (4). Выделение целой части не требуется.

Ответ: $\sqrt[4]{b}$