Номер 2.164, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.164. Упростите выражение:

а) $\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{2};$

б) $4\sqrt[5]{729} - \sqrt[5]{3};$

в) $5\sqrt[7]{2} - 2\sqrt[7]{256};$

г) $\sqrt[3]{24} - \sqrt[3]{375};$

д) $\sqrt[3]{135} + 2\sqrt[3]{320} - \sqrt[3]{625};$

е) $\sqrt[3]{128} + 5\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{54}.$

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{2}$, необходимо привести радикалы к одинаковому подкоренному выражению. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в первом слагаемом. Разложим число 16 на множители так, чтобы один из них был кубом целого числа: $16 = 8 \times 2 = 2^3 \times 2$. Теперь можем вынести множитель: $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \times 2} = \sqrt[3]{2^3 \times 2} = 2\sqrt[3]{2}$. Подставим полученное значение в исходное выражение: $2\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2}$. Теперь сгруппируем слагаемые, так как они содержат одинаковый радикал: $(2+1)\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $3\sqrt[3]{2}$.

б) Чтобы упростить выражение $4\sqrt[5]{729} - \sqrt[5]{3}$, вынесем множитель из-под знака корня в первом слагаемом. Разложим число 729 на множители. Заметим, что $729 = 3^6 = 3^5 \times 3$. Вынесем множитель из-под корня пятой степени: $\sqrt[5]{729} = \sqrt[5]{3^5 \times 3} = 3\sqrt[5]{3}$. Подставим это в исходное выражение: $4 \times (3\sqrt[5]{3}) - \sqrt[5]{3} = 12\sqrt[5]{3} - \sqrt[5]{3}$. Сгруппируем слагаемые: $(12-1)\sqrt[5]{3} = 11\sqrt[5]{3}$.
Ответ: $11\sqrt[5]{3}$.

в) Чтобы упростить выражение $5\sqrt[7]{2} - 2\sqrt[7]{256}$, вынесем множитель из-под знака корня во втором слагаемом. Разложим число 256 на множители. Заметим, что $256 = 2^8 = 2^7 \times 2$. Вынесем множитель из-под корня седьмой степени: $\sqrt[7]{256} = \sqrt[7]{2^7 \times 2} = 2\sqrt[7]{2}$. Подставим это в исходное выражение: $5\sqrt[7]{2} - 2 \times (2\sqrt[7]{2}) = 5\sqrt[7]{2} - 4\sqrt[7]{2}$. Сгруппируем слагаемые: $(5-4)\sqrt[7]{2} = 1\sqrt[7]{2} = \sqrt[7]{2}$.
Ответ: $\sqrt[7]{2}$.

г) Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{24} - \sqrt[3]{375}$, вынесем множители из-под знаков корней в обоих слагаемых. Для первого слагаемого: $24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3$. $\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^3 \times 3} = 2\sqrt[3]{3}$. Для второго слагаемого: $375 = 125 \times 3 = 5^3 \times 3$. $\sqrt[3]{375} = \sqrt[3]{5^3 \times 3} = 5\sqrt[3]{3}$. Подставим упрощенные значения в исходное выражение: $2\sqrt[3]{3} - 5\sqrt[3]{3}$. Сгруппируем слагаемые: $(2-5)\sqrt[3]{3} = -3\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $-3\sqrt[3]{3}$.

д) Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{135} + 2\sqrt[3]{320} - \sqrt[3]{625}$, вынесем множители из-под каждого знака корня. 1. $\sqrt[3]{135} = \sqrt[3]{27 \times 5} = \sqrt[3]{3^3 \times 5} = 3\sqrt[3]{5}$. 2. $\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{64 \times 5} = \sqrt[3]{4^3 \times 5} = 4\sqrt[3]{5}$. 3. $\sqrt[3]{625} = \sqrt[3]{125 \times 5} = \sqrt[3]{5^3 \times 5} = 5\sqrt[3]{5}$. Подставим упрощенные корни в исходное выражение: $3\sqrt[3]{5} + 2(4\sqrt[3]{5}) - 5\sqrt[3]{5} = 3\sqrt[3]{5} + 8\sqrt[3]{5} - 5\sqrt[3]{5}$. Сложим и вычтем коэффициенты при одинаковых корнях: $(3+8-5)\sqrt[3]{5} = (11-5)\sqrt[3]{5} = 6\sqrt[3]{5}$.
Ответ: $6\sqrt[3]{5}$.

е) Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{128} + 5\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{54}$, вынесем множители из-под каждого знака корня. 1. $\sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{64 \times 2} = \sqrt[3]{4^3 \times 2} = 4\sqrt[3]{2}$. 2. $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \times 2} = \sqrt[3]{2^3 \times 2} = 2\sqrt[3]{2}$. 3. $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = \sqrt[3]{3^3 \times 2} = 3\sqrt[3]{2}$. Подставим упрощенные корни в исходное выражение: $4\sqrt[3]{2} + 5(2\sqrt[3]{2}) - 3\sqrt[3]{2} = 4\sqrt[3]{2} + 10\sqrt[3]{2} - 3\sqrt[3]{2}$. Сложим и вычтем коэффициенты при одинаковых корнях: $(4+10-3)\sqrt[3]{2} = (14-3)\sqrt[3]{2} = 11\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $11\sqrt[3]{2}$.