Номер 2.170, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.170. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt[5]{-3\sqrt{3}} + \sqrt[5]{3} \cdot \sqrt[10]{3};$

б) $\frac{\sqrt[4]{7 \cdot \sqrt[3]{49}}}{\sqrt[6]{49} \cdot \sqrt{7}}.$

a) $\sqrt[5]{-3\sqrt{3}} + \sqrt[5]{3} \cdot \sqrt[10]{3}$
Для решения преобразуем оба слагаемых по отдельности.

1. Рассмотрим первое слагаемое $\sqrt[5]{-3\sqrt{3}}$.
Так как показатель корня (5) является нечетным числом, знак "минус" можно вынести за знак корня: $\sqrt[5]{-3\sqrt{3}} = -\sqrt[5]{3\sqrt{3}}$
Теперь внесем множитель 3 под знак внутреннего квадратного корня. Для этого возведем его в квадрат: $3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$. $3\sqrt{3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.
Таким образом, первое слагаемое приобретает вид: $-\sqrt[5]{\sqrt{27}}$.
Используя свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$, получаем: $-\sqrt[5]{\sqrt{27}} = -\sqrt[5 \cdot 2]{27} = -\sqrt[10]{27}$.

2. Рассмотрим второе слагаемое $\sqrt[5]{3} \cdot \sqrt[10]{3}$.
Чтобы перемножить корни, приведем их к общему показателю. Наименьший общий показатель для 5 и 10 — это 10. Преобразуем $\sqrt[5]{3}$ к корню 10-й степени, используя свойство $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$: $\sqrt[5]{3} = \sqrt[5 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[10]{9}$.
Теперь второе слагаемое выглядит так: $\sqrt[10]{9} \cdot \sqrt[10]{3}$.
Используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, перемножаем корни: $\sqrt[10]{9} \cdot \sqrt[10]{3} = \sqrt[10]{9 \cdot 3} = \sqrt[10]{27}$.

3. Сложим полученные результаты: $-\sqrt[10]{27} + \sqrt[10]{27} = 0$.

Ответ: 0.

б) $\frac{\sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[3]{49}}{\sqrt[6]{49} \cdot \sqrt{7}}$
Для упрощения этого выражения представим все числа в виде степеней числа 7 и воспользуемся свойствами степеней.

Заметим, что $49 = 7^2$. Подставим это в исходное выражение: $\frac{\sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[6]{7^2} \cdot \sqrt{7}}$

Теперь перейдем от корней к дробным показателям, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

1. Преобразуем числитель дроби:
$\sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[3]{7^2} = 7^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{2}{3}}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $7^{\frac{1}{4} + \frac{2}{3}} = 7^{\frac{3}{12} + \frac{8}{12}} = 7^{\frac{11}{12}}$.

2. Преобразуем знаменатель дроби:
$\sqrt[6]{7^2} \cdot \sqrt{7} = 7^{\frac{2}{6}} \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 7^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{2}}$
Складываем показатели: $7^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = 7^{\frac{2}{6} + \frac{3}{6}} = 7^{\frac{5}{6}}$.

3. Теперь разделим числитель на знаменатель. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{7^{\frac{11}{12}}}{7^{\frac{5}{6}}} = 7^{\frac{11}{12} - \frac{5}{6}}$
Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 12: $\frac{11}{12} - \frac{5}{6} = \frac{11}{12} - \frac{10}{12} = \frac{1}{12}$.
Таким образом, значение выражения равно $7^{\frac{1}{12}}$, что можно записать в виде корня $\sqrt[12]{7}$.

Ответ: $\sqrt[12]{7}$.