Номер 2.176, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.176. Сократите дробь:

а) $\frac{\sqrt[3]{12x} - \sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{18x} - \sqrt[3]{6}}$;

б) $\frac{\sqrt[4]{m^3} - \sqrt[4]{m^2n}}{\sqrt[4]{n} - \sqrt[4]{m}}$.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{\sqrt[3]{12x} - \sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{18x} - \sqrt[3]{6}} $, найдем общие множители в числителе и знаменателе.

Разложим подкоренные выражения на множители. Заметим, что числа 12, 18 и 6 делятся на 6.

Преобразуем числитель:

$ \sqrt[3]{12x} - \sqrt[3]{18} = \sqrt[3]{6 \cdot 2x} - \sqrt[3]{6 \cdot 3} $

Вынесем общий множитель $ \sqrt[3]{6} $ за скобки:

$ \sqrt[3]{6}(\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{3}) $

Преобразуем знаменатель:

$ \sqrt[3]{18x} - \sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{6 \cdot 3x} - \sqrt[3]{6 \cdot 1} $

Вынесем общий множитель $ \sqrt[3]{6} $ за скобки:

$ \sqrt[3]{6}(\sqrt[3]{3x} - \sqrt[3]{1}) = \sqrt[3]{6}(\sqrt[3]{3x} - 1) $

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$$ \frac{\sqrt[3]{6}(\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{3})}{\sqrt[3]{6}(\sqrt[3]{3x} - 1)} $$

Сократим общий множитель $ \sqrt[3]{6} $:

$$ \frac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3x} - 1} $$

В данном виде дробь не может быть далее упрощена.

Ответ: $ \frac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3x} - 1} $.

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{\sqrt[4]{m^3} - \sqrt[4]{m^2n}}{\sqrt[4]{n} - \sqrt[4]{m}} $, найдем общие множители в числителе и знаменателе. Область допустимых значений: $ m \ge 0, n \ge 0 $.

Преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель $ \sqrt[4]{m^2} $:

$ \sqrt[4]{m^3} - \sqrt[4]{m^2n} = \sqrt[4]{m^2 \cdot m} - \sqrt[4]{m^2 \cdot n} = \sqrt[4]{m^2}(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n}) $

Подставим полученное выражение в дробь:

$$ \frac{\sqrt[4]{m^2}(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})}{\sqrt[4]{n} - \sqrt[4]{m}} $$

Заметим, что выражение в знаменателе $ (\sqrt[4]{n} - \sqrt[4]{m}) $ и множитель в числителе $ (\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n}) $ отличаются только знаком. Вынесем минус в знаменателе:

$ \sqrt[4]{n} - \sqrt[4]{m} = -(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n}) $

Теперь дробь имеет вид:

$$ \frac{\sqrt[4]{m^2}(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})}{-(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})} $$

Сократим общий множитель $ (\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n}) $ при условии, что $ m \neq n $:

$$ -\sqrt[4]{m^2} $$

Упростим оставшееся выражение, используя свойства корней и степеней:

$ \sqrt[4]{m^2} = (m^2)^{1/4} = m^{2/4} = m^{1/2} = \sqrt{m} $

Таким образом, окончательный результат:

$$ -\sqrt{m} $$

Ответ: $ -\sqrt{m} $.