Номер 2.178, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.178. Примените формулы сокращенного умножения и сократите дробь:

а) $\frac{\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab^2} + b}{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}}$;

б) $\frac{\sqrt{b} - 2\sqrt[4]{a^2b} + a^3}{a\sqrt{a} - \sqrt[4]{b}}$.

а) Для сокращения дроби $ \frac{\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab^2} + b}{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}} $ воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $.

Проанализируем числитель дроби: $ \sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab^2} + b $.

Преобразуем каждое слагаемое числителя, чтобы привести его к виду квадрата суммы.

• Первое слагаемое: $ \sqrt{a} = a^{1/2} = (a^{1/4})^2 = (\sqrt[4]{a})^2 $.
• Третье слагаемое: $ b = (\sqrt{b})^2 $.
• Второе слагаемое (удвоенное произведение): $ 2\sqrt[4]{ab^2} = 2 \cdot (ab^2)^{1/4} = 2 \cdot a^{1/4} \cdot (b^2)^{1/4} = 2 \cdot a^{1/4} \cdot b^{2/4} = 2 \cdot a^{1/4} \cdot b^{1/2} = 2\sqrt[4]{a}\sqrt{b} $.

Таким образом, числитель представляет собой выражение $ (\sqrt[4]{a})^2 + 2\sqrt[4]{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 $. Это и есть полный квадрат суммы переменных $ x = \sqrt[4]{a} $ и $ y = \sqrt{b} $. Следовательно, числитель равен $ (\sqrt[4]{a} + \sqrt{b})^2 $.

Подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:$ \frac{(\sqrt[4]{a} + \sqrt{b})^2}{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}} $

Сократим дробь на общий множитель $ (\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}) $, предполагая, что он не равен нулю.$ \frac{(\sqrt[4]{a} + \sqrt{b})^2}{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}} = \sqrt[4]{a} + \sqrt{b} $

Ответ: $ \sqrt[4]{a} + \sqrt{b} $.

б) Для сокращения дроби $ \frac{\sqrt{b} - 2a\sqrt[4]{a^2b} + a^3}{a\sqrt{a} - \sqrt[4]{b}} $ воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $ (x-y)^2 = x^2-2xy+y^2 $.

Проанализируем числитель дроби: $ \sqrt{b} - 2a\sqrt[4]{a^2b} + a^3 $. Для наглядности поменяем слагаемые местами: $ a^3 - 2a\sqrt[4]{a^2b} + \sqrt{b} $.

Преобразуем каждое слагаемое числителя, чтобы привести его к виду квадрата разности.

• Первое слагаемое: $ a^3 = a^2 \cdot a = (a^{3/2})^2 = (a\sqrt{a})^2 $.
• Третье слагаемое: $ \sqrt{b} = b^{1/2} = (b^{1/4})^2 = (\sqrt[4]{b})^2 $.
• Второе слагаемое (удвоенное произведение): $ -2a\sqrt[4]{a^2b} = -2a \cdot (a^2b)^{1/4} = -2a \cdot (a^2)^{1/4} \cdot b^{1/4} = -2a \cdot a^{1/2} \cdot \sqrt[4]{b} = -2(a\sqrt{a})\sqrt[4]{b} $.

Таким образом, числитель представляет собой выражение $ (a\sqrt{a})^2 - 2(a\sqrt{a})\sqrt[4]{b} + (\sqrt[4]{b})^2 $. Это и есть полный квадрат разности переменных $ x = a\sqrt{a} $ и $ y = \sqrt[4]{b} $. Следовательно, числитель равен $ (a\sqrt{a} - \sqrt[4]{b})^2 $.

Подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:$ \frac{(a\sqrt{a} - \sqrt[4]{b})^2}{a\sqrt{a} - \sqrt[4]{b}} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a\sqrt{a} - \sqrt[4]{b}) $, предполагая, что он не равен нулю.$ \frac{(a\sqrt{a} - \sqrt[4]{b})^2}{a\sqrt{a} - \sqrt[4]{b}} = a\sqrt{a} - \sqrt[4]{b} $

Ответ: $ a\sqrt{a} - \sqrt[4]{b} $.