Номер 2.177, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.177. Примените формулу разности квадратов и сократите дробь:

а) $\frac{\sqrt[4]{m} - 1}{\sqrt{m} - 1}$;

б) $\frac{\sqrt[5]{x^6} - 4}{\sqrt[5]{x^3} - 2}$;

в) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a}}$;

г) $\frac{\sqrt{m} - n}{\sqrt{n} - \sqrt[4]{m}}$.

Для решения данных задач мы будем использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, а также свойство корней $\sqrt[n]{x^k} = (\sqrt[n]{x})^k$.

а) Преобразуем знаменатель дроби $\sqrt{m} - 1$. Заметим, что $\sqrt{m} = m^{\frac{1}{2}} = (m^{\frac{1}{4}})^2 = (\sqrt[4]{m})^2$, а $1 = 1^2$.
Таким образом, знаменатель можно разложить по формуле разности квадратов:
$\sqrt{m} - 1 = (\sqrt[4]{m})^2 - 1^2 = (\sqrt[4]{m} - 1)(\sqrt[4]{m} + 1)$
Теперь сократим дробь:
$\frac{\sqrt[4]{m} - 1}{\sqrt{m} - 1} = \frac{\sqrt[4]{m} - 1}{(\sqrt[4]{m} - 1)(\sqrt[4]{m} + 1)} = \frac{1}{\sqrt[4]{m} + 1}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{m} + 1}$

б) Преобразуем числитель дроби $\sqrt[5]{x^6} - 4$. Заметим, что $\sqrt[5]{x^6} = (\sqrt[5]{x^3})^2$, а $4 = 2^2$.
Таким образом, числитель можно разложить по формуле разности квадратов:
$\sqrt[5]{x^6} - 4 = (\sqrt[5]{x^3})^2 - 2^2 = (\sqrt[5]{x^3} - 2)(\sqrt[5]{x^3} + 2)$
Теперь сократим дробь:
$\frac{\sqrt[5]{x^6} - 4}{\sqrt[5]{x^3} - 2} = \frac{(\sqrt[5]{x^3} - 2)(\sqrt[5]{x^3} + 2)}{\sqrt[5]{x^3} - 2} = \sqrt[5]{x^3} + 2$
Ответ: $\sqrt[5]{x^3} + 2$

в) Преобразуем числитель дроби $\sqrt{a} - \sqrt{b}$. Заметим, что $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt{b} = (\sqrt[4]{b})^2$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов:
$\sqrt{a} - \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$
В знаменателе вынесем минус за скобку: $\sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a} = -(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})$.
Теперь сократим дробь:
$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a}} = \frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{-(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})} = -(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$
Ответ: $-(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$

г) Преобразуем числитель дроби $\sqrt{m} - n$. Заметим, что $\sqrt{m} = (\sqrt[4]{m})^2$ и $n = (\sqrt{n})^2$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов:
$\sqrt{m} - n = (\sqrt[4]{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = (\sqrt[4]{m} - \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt{n})$
В знаменателе вынесем минус за скобку: $\sqrt{n} - \sqrt[4]{m} = -(\sqrt[4]{m} - \sqrt{n})$.
Теперь сократим дробь:
$\frac{\sqrt{m} - n}{\sqrt{n} - \sqrt[4]{m}} = \frac{(\sqrt[4]{m} - \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt{n})}{-(\sqrt[4]{m} - \sqrt{n})} = -(\sqrt[4]{m} + \sqrt{n})$
Ответ: $-(\sqrt[4]{m} + \sqrt{n})$