Номер 2.172, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.172. Выполните действия:

а) $(1+\sqrt{a})(1-\sqrt[4]{a})(1+\sqrt[4]{a});$

б) $(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n}).$

а) Для решения этого выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $. Применим ее дважды.

1. Сначала сгруппируем и умножим последние две скобки: $ (1 - \sqrt[4]{a})(1 + \sqrt[4]{a}) $.
Здесь $ x = 1 $ и $ y = \sqrt[4]{a} $.
$ (1 - \sqrt[4]{a})(1 + \sqrt[4]{a}) = 1^2 - (\sqrt[4]{a})^2 = 1 - a^{\frac{2}{4}} = 1 - a^{\frac{1}{2}} = 1 - \sqrt{a} $.

2. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$ (1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt[4]{a})(1 + \sqrt[4]{a}) = (1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a}) $.

3. Снова применим формулу разности квадратов, где $ x = 1 $ и $ y = \sqrt{a} $:
$ (1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a}) = 1^2 - (\sqrt{a})^2 = 1 - a $.

Ответ: $ 1 - a $.

б) Для решения этого выражения изменим порядок множителей для удобства и также воспользуемся формулой разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.

1. Исходное выражение: $ (\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n}) $.
Сгруппируем первый и третий множители:
$ [(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})](\sqrt{m} + \sqrt{n}) $.

2. Применим формулу разности квадратов к выражению в квадратных скобках, где $ x = \sqrt[4]{m} $ и $ y = \sqrt[4]{n} $:
$ (\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n}) = (\sqrt[4]{m})^2 - (\sqrt[4]{n})^2 = m^{\frac{2}{4}} - n^{\frac{2}{4}} = m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}} = \sqrt{m} - \sqrt{n} $.

3. Теперь подставим полученный результат обратно в выражение:
$ (\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n}) $.

4. Снова применим формулу разности квадратов, где $ x = \sqrt{m} $ и $ y = \sqrt{n} $:
$ (\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n}) = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = m - n $.

Ответ: $ m - n $.