Номер 2.168, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.168. Периметр прямоугольника равен $16\sqrt[6]{3}$ см, а одна из его сторон равна $2\sqrt[6]{3}$ см. Найдите площадь прямоугольника.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

По условию задачи даны:

• Периметр прямоугольника $P = 16\sqrt[6]{3}$ см.
• Одна из сторон, пусть это будет $a$, равна $a = 2\sqrt[6]{3}$ см.

Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a+b)$.

1. Нахождение второй стороны прямоугольника.

Сначала найдем полупериметр (сумму двух смежных сторон):

$a+b = \frac{P}{2} = \frac{16\sqrt[6]{3}}{2} = 8\sqrt[6]{3}$ см.

Теперь, зная одну сторону $a$, можем найти вторую сторону $b$:

$b = (a+b) - a = 8\sqrt[6]{3} - 2\sqrt[6]{3} = (8-2)\sqrt[6]{3} = 6\sqrt[6]{3}$ см.

2. Нахождение площади прямоугольника.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Подставим значения сторон $a$ и $b$ в формулу площади:

$S = (2\sqrt[6]{3}) \cdot (6\sqrt[6]{3})$

Выполним умножение числовых коэффициентов и корней:

$S = (2 \cdot 6) \cdot (\sqrt[6]{3} \cdot \sqrt[6]{3}) = 12 \cdot (\sqrt[6]{3})^2$

Упростим выражение с корнем. Используя свойство степеней $(\sqrt[n]{x})^m = x^{m/n}$, получаем:

$(\sqrt[6]{3})^2 = 3^{2/6} = 3^{1/3} = \sqrt[3]{3}$

Таким образом, площадь прямоугольника равна:

$S = 12\sqrt[3]{3}$ см$^2$.

Площадь прямоугольника Ответ: $12\sqrt[3]{3}$ см$^2$.