Номер 2.165, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.165. Найдите значение выражения:

a) $ (\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8})^2 $;

б) $ (\sqrt[4]{27} + \sqrt[4]{3})^2 $.

а) Для нахождения значения выражения $(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8})^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = \sqrt[4]{2}$ и $b = \sqrt[4]{8}$.

Подставим эти значения в формулу:

$(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8})^2 = (\sqrt[4]{2})^2 - 2 \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} + (\sqrt[4]{8})^2$

Упростим каждый член выражения по отдельности:

• $(\sqrt[4]{2})^2 = (2^{1/4})^2 = 2^{2/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$
• $2 \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = 2 \cdot \sqrt[4]{2 \cdot 8} = 2 \cdot \sqrt[4]{16} = 2 \cdot 2 = 4$
• $(\sqrt[4]{8})^2 = (8^{1/4})^2 = 8^{2/4} = 8^{1/2} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

Теперь сложим полученные результаты:

$\sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{2} = (1+2)\sqrt{2} - 4 = 3\sqrt{2} - 4$

Ответ: $3\sqrt{2} - 4$.

б) Для нахождения значения выражения $(\sqrt[4]{27} + \sqrt[4]{3})^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = \sqrt[4]{27}$ и $b = \sqrt[4]{3}$.

Подставим эти значения в формулу:

$(\sqrt[4]{27} + \sqrt[4]{3})^2 = (\sqrt[4]{27})^2 + 2 \cdot \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{3} + (\sqrt[4]{3})^2$

Упростим каждый член выражения:

• $(\sqrt[4]{27})^2 = (27^{1/4})^2 = 27^{2/4} = 27^{1/2} = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
• $2 \cdot \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{3} = 2 \cdot \sqrt[4]{27 \cdot 3} = 2 \cdot \sqrt[4]{81} = 2 \cdot 3 = 6$
• $(\sqrt[4]{3})^2 = (3^{1/4})^2 = 3^{2/4} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$

Теперь сложим полученные результаты:

$3\sqrt{3} + 6 + \sqrt{3} = (3+1)\sqrt{3} + 6 = 4\sqrt{3} + 6$

Ответ: $6 + 4\sqrt{3}$.