Номер 2.167, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.167. Выполните действия:

а) $\frac{\sqrt[3]{192} - 2\sqrt[3]{375}}{\sqrt[3]{81}}$;

б) $\frac{2\sqrt[3]{4} - 3\sqrt[3]{108} - \sqrt[3]{500}}{\sqrt[3]{4}}$.

a) Упростим данное выражение. Для этого приведем все слагаемые в числителе и знаменателе к общему виду, вынеся множители из-под знака кубического корня.

Разложим подкоренные выражения на множители, выделяя кубы чисел:

$\sqrt[3]{192} = \sqrt[3]{64 \cdot 3} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 3} = 4\sqrt[3]{3}$

$2\sqrt[3]{375} = 2\sqrt[3]{125 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{5^3 \cdot 3} = 2 \cdot 5\sqrt[3]{3} = 10\sqrt[3]{3}$

$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = 3\sqrt[3]{3}$

Теперь подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$\frac{\sqrt[3]{192} - 2\sqrt[3]{375}}{\sqrt[3]{81}} = \frac{4\sqrt[3]{3} - 10\sqrt[3]{3}}{3\sqrt[3]{3}}$

Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{3}$ в числителе за скобки и выполним вычитание:

$\frac{(4 - 10)\sqrt[3]{3}}{3\sqrt[3]{3}} = \frac{-6\sqrt[3]{3}}{3\sqrt[3]{3}}$

Сократим дробь на общий множитель $\sqrt[3]{3}$ и выполним деление:

$\frac{-6}{3} = -2$

Ответ: -2.

б) Упростим данное выражение. Для этого приведем все слагаемые в числителе к общему виду, вынеся множители из-под знака корня так, чтобы под корнем осталось число 4.

Упростим $\sqrt[3]{108}$ и $\sqrt[3]{500}$:

$3\sqrt[3]{108} = 3\sqrt[3]{27 \cdot 4} = 3\sqrt[3]{3^3 \cdot 4} = 3 \cdot 3\sqrt[3]{4} = 9\sqrt[3]{4}$

$\sqrt[3]{500} = \sqrt[3]{125 \cdot 4} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 4} = 5\sqrt[3]{4}$

Теперь подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$\frac{2\sqrt[3]{4} - 3\sqrt[3]{108} - \sqrt[3]{500}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{2\sqrt[3]{4} - 9\sqrt[3]{4} - 5\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}$

Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{4}$ в числителе за скобки и выполним действия в скобках:

$\frac{(2 - 9 - 5)\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{-12\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}$

Сократим дробь на $\sqrt[3]{4}$:

$-12$

Ответ: -12.