Номер 2.175, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.175. Сократите дробь:

а) $\frac{\sqrt[3]{6}-6}{\sqrt[3]{6}}$;

б) $\frac{\sqrt[5]{2}+1}{\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{2}}$;

В) $\frac{\sqrt[5]{64}-2}{\sqrt[5]{4}}$;

Г) $\frac{\sqrt[4]{3}-3}{6-\sqrt[4]{48}}$.

а) Разделим числитель почленно на знаменатель:
$\frac{\sqrt[3]{6} - 6}{\sqrt[3]{6}} = \frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{6}} - \frac{6}{\sqrt[3]{6}} = 1 - \frac{6}{\sqrt[3]{6}}$.
Упростим второе слагаемое. Так как $6 = (\sqrt[3]{6})^3$, то $\frac{6}{\sqrt[3]{6}} = \frac{(\sqrt[3]{6})^3}{\sqrt[3]{6}} = (\sqrt[3]{6})^{3-1} = (\sqrt[3]{6})^2 = \sqrt[3]{36}$.
Таким образом, выражение равно $1 - \sqrt[3]{36}$.
Ответ: $1 - \sqrt[3]{36}$

б) В знаменателе $\sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2}$ вынесем общий множитель $\sqrt[5]{2}$ за скобки. Заметим, что $\sqrt[5]{4} = \sqrt[5]{2^2} = (\sqrt[5]{2})^2$:
$\sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{2} = (\sqrt[5]{2})^2 + \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{2}(\sqrt[5]{2} + 1)$.
Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{\sqrt[5]{2} + 1}{\sqrt[5]{2}(\sqrt[5]{2} + 1)} = \frac{1}{\sqrt[5]{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt[5]{2^4} = \sqrt[5]{16}$:
$\frac{1 \cdot \sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{16}} = \frac{\sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{\sqrt[5]{16}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt[5]{16}}{2}$

в) Разделим числитель почленно на знаменатель:
$\frac{\sqrt[5]{64} - 2}{\sqrt[5]{4}} = \frac{\sqrt[5]{64}}{\sqrt[5]{4}} - \frac{2}{\sqrt[5]{4}}$.
Упростим первое слагаемое, используя свойство корня от частного:
$\frac{\sqrt[5]{64}}{\sqrt[5]{4}} = \sqrt[5]{\frac{64}{4}} = \sqrt[5]{16}$.
Упростим второе слагаемое, представив $2$ как $\sqrt[5]{32}$:
$\frac{2}{\sqrt[5]{4}} = \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[5]{4}} = \sqrt[5]{\frac{32}{4}} = \sqrt[5]{8}$.
Таким образом, результат: $\sqrt[5]{16} - \sqrt[5]{8}$.
Ответ: $\sqrt[5]{16} - \sqrt[5]{8}$

г) Упростим корень в знаменателе: $\sqrt[4]{48} = \sqrt[4]{16 \cdot 3} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{3} = 2\sqrt[4]{3}$.
Подставим это в дробь:
$\frac{\sqrt[4]{3} - 3}{6 - 2\sqrt[4]{3}}$.
Вынесем общий множитель $2$ в знаменателе:
$\frac{\sqrt[4]{3} - 3}{2(3 - \sqrt[4]{3})}$.
Заметим, что числитель является противоположным выражению в скобках в знаменателе: $\sqrt[4]{3} - 3 = -(3 - \sqrt[4]{3})$.
Подставим и сократим дробь на $(3 - \sqrt[4]{3})$:
$\frac{-(3 - \sqrt[4]{3})}{2(3 - \sqrt[4]{3})} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$