Номер 2.180, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.180. Упростите выражение:

a) $\frac{8}{\sqrt[3]{4}} + 2\sqrt[3]{2};$

б) $\sqrt[5]{3} - \frac{15}{\sqrt[5]{81}}.$

а) Исходное выражение: $ \frac{8}{\sqrt[3]{4}} + 2\sqrt[3]{2} $.

Для упрощения данного выражения необходимо привести оба слагаемых к общему виду. Сначала упростим первое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе.

Знаменатель дроби $ \sqrt[3]{4} $ можно представить как $ \sqrt[3]{2^2} $. Чтобы избавиться от кубического корня, необходимо, чтобы подкоренное выражение стало полным кубом. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt[3]{2} $:

$ \frac{8}{\sqrt[3]{4}} = \frac{8}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{8 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{8\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{8\sqrt[3]{2}}{2} = 4\sqrt[3]{2} $

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$ 4\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} $

Так как оба слагаемых содержат одинаковый радикал $ \sqrt[3]{2} $, мы можем сложить их коэффициенты:

$ (4 + 2)\sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2} $

Ответ: $ 6\sqrt[3]{2} $

б) Исходное выражение: $ \sqrt[5]{3} - \frac{15}{\sqrt[5]{81}} $.

Упростим второе слагаемое, избавившись от иррациональности в его знаменателе.

Знаменатель дроби $ \sqrt[5]{81} $ можно представить как $ \sqrt[5]{3^4} $. Чтобы избавиться от корня пятой степени, необходимо, чтобы подкоренное выражение стало пятой степенью числа. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt[5]{3} $:

$ \frac{15}{\sqrt[5]{81}} = \frac{15}{\sqrt[5]{3^4}} = \frac{15 \cdot \sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{3^4} \cdot \sqrt[5]{3}} = \frac{15\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{3^5}} = \frac{15\sqrt[5]{3}}{3} = 5\sqrt[5]{3} $

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$ \sqrt[5]{3} - 5\sqrt[5]{3} $

Оба члена выражения содержат одинаковый радикал $ \sqrt[5]{3} $. Вычтем их коэффициенты (коэффициент первого члена равен 1):

$ (1 - 5)\sqrt[5]{3} = -4\sqrt[5]{3} $

Ответ: $ -4\sqrt[5]{3} $