Номер 2.186, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.186. Решите уравнение $1 - \frac{2x^2 - x - 45}{5 - x} = 0$.

Данное уравнение является дробно-рациональным. Для его решения необходимо найти область допустимых значений, а затем решить получившееся уравнение и проверить корни.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби в уравнении не может быть равен нулю. Поэтому необходимо исключить значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль.

$$5 - x \neq 0$$

Отсюда следует, что:

$$x \neq 5$$

Это означает, что если в процессе решения мы получим корень $x=5$, он будет посторонним.

2. Решение уравнения

Исходное уравнение:

$$1 - \frac{2x^2 - x - 45}{5 - x} = 0$$

Перенесем дробное слагаемое в правую часть уравнения:

$$1 = \frac{2x^2 - x - 45}{5 - x}$$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(5 - x)$, так как мы уже учли, что $x \neq 5$:

$$1 \cdot (5 - x) = 2x^2 - x - 45$$

$$5 - x = 2x^2 - x - 45$$

Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$$2x^2 - x - 45 - (5 - x) = 0$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$2x^2 - x - 45 - 5 + x = 0$$

$$2x^2 + (-x + x) - 45 - 5 = 0$$

$$2x^2 - 50 = 0$$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

$$2x^2 = 50$$

$$x^2 = \frac{50}{2}$$

$$x^2 = 25$$

Извлекая квадратный корень, получаем два значения для $x$:

$$x_1 = 5$$

$$x_2 = -5$$

3. Проверка корней на соответствие ОДЗ

Проверим найденные корни:

• $x_1 = 5$. Этот корень не удовлетворяет условию ОДЗ ($x \neq 5$). Следовательно, $x=5$ является посторонним корнем и не является решением уравнения.
• $x_2 = -5$. Этот корень удовлетворяет условию ОДЗ ($-5 \neq 5$). Следовательно, это единственное решение уравнения.

Ответ: -5