Номер 2.191, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.191. Множеством значений функции $y=2\sqrt{x}+5$ является промежуток:

а) $(0; +\infty);$
б) $[0; +\infty);$
в) $[5; +\infty);$
г) $(0; 5);$
д) $(5; +\infty).

Выберите правильный ответ.

Для того чтобы найти множество значений (область значений) функции $y = 2\sqrt{x} + 5$, необходимо определить все возможные значения, которые может принимать $y$.

Решение можно разбить на несколько шагов:

1. Анализ выражения с квадратным корнем.
   Функция квадратного корня $f(x)=\sqrt{x}$ определена для всех неотрицательных чисел. Множеством значений для $\sqrt{x}$ является промежуток $[0; +\infty)$. Это означает, что значение квадратного корня всегда больше или равно нулю:

   $\sqrt{x} \ge 0$

2. Умножение на коэффициент.
   В нашей функции выражение $\sqrt{x}$ умножается на 2. Поскольку 2 — это положительное число, знак неравенства не меняется:

   $2 \cdot \sqrt{x} \ge 2 \cdot 0$

   $2\sqrt{x} \ge 0$

3. Сложение с константой.
   К выражению $2\sqrt{x}$ прибавляется 5. Прибавим 5 к обеим частям полученного неравенства:

   $2\sqrt{x} + 5 \ge 0 + 5$

   $y \ge 5$

Таким образом, мы установили, что значение функции $y$ всегда будет больше или равно 5. Наименьшее значение достигается при $x=0$, когда $y(0) = 2\sqrt{0} + 5 = 5$. При увеличении $x$ значение $y$ будет неограниченно расти.

Следовательно, множество значений функции — это промежуток $[5; +\infty)$.

Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту в).

Ответ: в) $[5; +\infty)$