Номер 2.190, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.190. Найдите область определения функции $y = \sqrt{(x-5)(-x-3)}$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае, функция $y = \sqrt{(x-5)(-x-3)}$ определена, когда подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).

Необходимо решить неравенство:

$(x-5)(-x-3) \ge 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем нули функции $f(x) = (x-5)(-x-3)$, решив уравнение:

$(x-5)(-x-3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x - 5 = 0 \implies x_1 = 5$

или

$-x - 3 = 0 \implies -x = 3 \implies x_2 = -3$

Отметим точки $x = -3$ и $x = 5$ на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки включаются в решение. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -3]$, $[-3; 5]$ и $[5; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x-5)(-x-3)$ на каждом интервале:

• Для интервала $(-\infty; -3]$, возьмем $x = -4$: $(-4 - 5)(-(-4) - 3) = (-9)(4 - 3) = -9 < 0$. Знак «-».
• Для интервала $[-3; 5]$, возьмем $x = 0$: $(0 - 5)(-0 - 3) = (-5)(-3) = 15 > 0$. Знак «+».
• Для интервала $[5; +\infty)$, возьмем $x = 6$: $(6 - 5)(-6 - 3) = (1)(-9) = -9 < 0$. Знак «-».

Неравенство $(x-5)(-x-3) \ge 0$ выполняется на том интервале, где выражение имеет знак «+» или равно нулю. Это промежуток $[-3; 5]$.

Ответ: $x \in [-3; 5]$