Номер 2.187, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.187. Точка $P_\alpha$ единичной окружности имеет координаты $P_\alpha \left(\frac{1}{3}; -\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$.

Найдите значения $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\operatorname{tg}\alpha$ и $\operatorname{ctg}\alpha$.

По определению, для точки $P_\alpha(x; y)$, расположенной на единичной окружности, ее координаты равны косинусу и синусу угла $\alpha$ соответственно: $x = \cos\alpha$ и $y = \sin\alpha$. В условии задачи дана точка $P_\alpha$ с координатами $(\frac{1}{3}; -\frac{2\sqrt{2}}{3})$. Используя эти данные, найдем требуемые значения тригонометрических функций.

sinα
Синус угла $\alpha$ равен ординате (координате y) точки $P_\alpha$.
$\sin\alpha = y = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Ответ: $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

cosα
Косинус угла $\alpha$ равен абсциссе (координате x) точки $P_\alpha$.
$\cos\alpha = x = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

tgα
Тангенс угла $\alpha$ определяется как отношение синуса к косинусу: $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Подставим найденные значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$:
$\tg\alpha = \frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3}{1} = -2\sqrt{2}$.
Ответ: $-2\sqrt{2}$

ctgα
Котангенс угла $\alpha$ определяется как отношение косинуса к синусу: $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Подставим найденные значения $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$:
$\ctg\alpha = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:
$\ctg\alpha = -\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{4}$