Номер 2.197, страница 198 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.197. Выберите точки, через которые проходит график функции $y = \sqrt[4]{x}$:

а) A(16; 2);

б) B($\frac{1}{81}$; $\frac{1}{3}$);

в) C(-1; 1);

г) D(0,0001; 0,1);

д) E(625; -5);

е) F(3; $\sqrt[4]{3}$).

Укажите еще какие-либо две точки, принадлежащие графику функции $y = \sqrt[4]{x}$.

Чтобы определить, проходит ли график функции $y = \sqrt[4]{x}$ через заданную точку, необходимо подставить координаты точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции. Если равенство $y_0 = \sqrt[4]{x_0}$ выполняется, то точка принадлежит графику. Область определения данной функции: $x \ge 0$. Область значений: $y \ge 0$.

а) Проверяем точку A(16; 2). Подставляем $x = 16$ в уравнение функции: $y = \sqrt[4]{16}$. Так как $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$. Полученное значение $y=2$ совпадает с ординатой точки А. Ответ: точка принадлежит графику.

б) Проверяем точку B($\frac{1}{81}$; $\frac{1}{3}$). Подставляем $x = \frac{1}{81}$ в уравнение функции: $y = \sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{1}{3}$. Полученное значение $y = \frac{1}{3}$ совпадает с ординатой точки B. Ответ: точка принадлежит графику.

в) Проверяем точку C(-1; 1). Абсцисса точки $x = -1$. Так как подкоренное выражение в корне четной степени не может быть отрицательным ($x \ge 0$), точка C не входит в область определения функции. Ответ: точка не принадлежит графику.

г) Проверяем точку D(0,0001; 0,1). Подставляем $x = 0,0001$ в уравнение функции: $y = \sqrt[4]{0,0001}$. Так как $0,1^4 = 0,0001$, то $\sqrt[4]{0,0001} = 0,1$. Полученное значение $y=0,1$ совпадает с ординатой точки D. Ответ: точка принадлежит графику.

д) Проверяем точку E(625; -5). Ордината точки $y = -5$. Область значений функции $y = \sqrt[4]{x}$ — это все неотрицательные числа ($y \ge 0$). Так как ордината точки отрицательна, она не может принадлежать графику. Также, при подстановке $x=625$, получаем $y = \sqrt[4]{625} = 5$, что не равно -5. Ответ: точка не принадлежит графику.

е) Проверяем точку F(3; $\sqrt[4]{3}$). Подставляем $x = 3$ в уравнение функции: $y = \sqrt[4]{3}$. Полученное значение $y=\sqrt[4]{3}$ в точности совпадает с ординатой точки F. Ответ: точка принадлежит графику.

Для нахождения двух других точек, принадлежащих графику функции $y = \sqrt[4]{x}$, выберем простые значения для $x$, являющиеся четвертой степенью целого числа, чтобы легко вычислить $y$.

1. Пусть $x = 0$. Тогда $y = \sqrt[4]{0} = 0$. Следовательно, точка (0; 0) принадлежит графику.
2. Пусть $x = 1$. Тогда $y = \sqrt[4]{1} = 1$. Следовательно, точка (1; 1) принадлежит графику.

Ответ: в качестве еще двух точек, принадлежащих графику, можно указать (0; 0) и (1; 1).