Номер 2.198, страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.198. Дана функция $y = \sqrt[n]{x}$. Найдите $n$, если известно, что график данной функции проходит через точку:

a) $A\left(-\frac{1}{32}; -\frac{1}{2}\right)$;

б) $B(0,0081; 0,3)$;

в) $C(7\sqrt{7}; \sqrt{7})$.

Чтобы найти значение $n$, необходимо подставить координаты данной точки $(x; y)$ в уравнение функции $y = \sqrt[n]{x}$ и решить полученное уравнение относительно $n$.

a) График функции проходит через точку $A(-\frac{1}{32}; -\frac{1}{2})$. Подставим координаты этой точки в уравнение функции.

$y = \sqrt[n]{x}$

$-\frac{1}{2} = \sqrt[n]{-\frac{1}{32}}$

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в степень $n$:

$(-\frac{1}{2})^n = -\frac{1}{32}$

Поскольку основание степени отрицательно и результат также отрицателен, показатель степени $n$ должен быть нечетным целым числом. Нам нужно найти такое $n$, для которого выполняется равенство. Заметим, что $32 = 2^5$.

Следовательно, $-\frac{1}{32} = -\frac{1}{2^5} = (-\frac{1}{2})^5$.

Таким образом, мы получаем уравнение:

$(-\frac{1}{2})^n = (-\frac{1}{2})^5$

Отсюда $n = 5$.

Ответ: 5

б) График функции проходит через точку $B(0,0081; 0,3)$. Подставим ее координаты в уравнение.

$y = \sqrt[n]{x}$

$0,3 = \sqrt[n]{0,0081}$

Возведем обе части уравнения в степень $n$:

$(0,3)^n = 0,0081$

Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных или в виде степеней:

$0,3 = 3 \cdot 10^{-1}$

$0,0081 = 81 \cdot 10^{-4} = (3^4) \cdot 10^{-4} = (3 \cdot 10^{-1})^4 = (0,3)^4$

Подставим это в наше уравнение:

$(0,3)^n = (0,3)^4$

Так как основания степеней равны, то и показатели должны быть равны.

$n = 4$.

Ответ: 4

в) График функции проходит через точку $C(7\sqrt{7}; \sqrt{7})$. Подставим ее координаты в уравнение функции.

$y = \sqrt[n]{x}$

$\sqrt{7} = \sqrt[n]{7\sqrt{7}}$

Возведем обе части уравнения в степень $n$:

$(\sqrt{7})^n = 7\sqrt{7}$

Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 7. Используем свойства степеней: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ и $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.

Левая часть: $(\sqrt{7})^n = (7^{\frac{1}{2}})^n = 7^{\frac{n}{2}}$

Правая часть: $7\sqrt{7} = 7^1 \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 7^{1+\frac{1}{2}} = 7^{\frac{3}{2}}$

Получаем уравнение:

$7^{\frac{n}{2}} = 7^{\frac{3}{2}}$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$\frac{n}{2} = \frac{3}{2}$

Умножаем обе части на 2:

$n = 3$.

Ответ: 3