Номер 2.203, страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.203. Найдите нули функции:

a) $f(x) = \sqrt[4]{3x - 4}$;

б) $f(x) = \sqrt[7]{8 - 5x}$;

В) $f(x) = \sqrt[6]{x^2 - 4x + 3}$;

Г) $f(x) = \sqrt[5]{36 - x^2}$.

а) Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Чтобы найти нули функции $f(x) = \sqrt[4]{3x - 4}$, необходимо решить уравнение:
$\sqrt[4]{3x - 4} = 0$
Возведем обе части уравнения в четвертую степень, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt[4]{3x - 4})^4 = 0^4$
$3x - 4 = 0$
Решим полученное линейное уравнение:
$3x = 4$
$x = \frac{4}{3}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть:
$x = 1\frac{1}{3}$
Так как корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3x - 4 \ge 0$, откуда $x \ge \frac{4}{3}$. Найденный корень удовлетворяет этому условию.
Ответ: $x = \textbf{1}\frac{1}{3}$.

б) Чтобы найти нули функции $f(x) = \sqrt[7]{8 - 5x}$, решим уравнение:
$\sqrt[7]{8 - 5x} = 0$
Возведем обе части уравнения в седьмую степень:
$(\sqrt[7]{8 - 5x})^7 = 0^7$
$8 - 5x = 0$
Решим уравнение:
$5x = 8$
$x = \frac{8}{5}$
Выделим целую часть из неправильной дроби:
$x = 1\frac{3}{5}$
Так как корень нечетной степени, функция определена для всех действительных чисел $x$.
Ответ: $x = \textbf{1}\frac{3}{5}$.

в) Для нахождения нулей функции $f(x) = \sqrt[6]{x^2 - 4x + 3}$ приравняем ее к нулю:
$\sqrt[6]{x^2 - 4x + 3} = 0$
Возведем обе части в шестую степень:
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью теоремы Виета:
$x_1 + x_2 = 4$
$x_1 \cdot x_2 = 3$
Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Оба значения являются нулями функции, так как при подстановке каждого из них в подкоренное выражение оно обращается в ноль, что является допустимым для корня четной степени.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 3$.

г) Найдем нули функции $f(x) = \sqrt[5]{36 - x^2}$, решив уравнение:
$\sqrt[5]{36 - x^2} = 0$
Возведем обе части уравнения в пятую степень:
$36 - x^2 = 0$
Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$x^2 = 36$
$x = \pm\sqrt{36}$
$x_1 = -6, x_2 = 6$
Корень нечетной степени определен для любых действительных значений подкоренного выражения.
Ответ: $x_1 = -6, x_2 = 6$.