Номер 2.210, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.210. Расположите в порядке возрастания числа:

а) $\sqrt[3]{3}, \sqrt{2}$ и $\sqrt[6]{5}$;

б) $\sqrt[3]{5}, \sqrt[12]{3}$ и $\sqrt[4]{8}$;

в) $\sqrt[5]{3}, \sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[5]{\sqrt[3]{30}};

г) $\sqrt[15]{125}, \sqrt[5]{6}$ и $\sqrt[6]{4\sqrt[5]{4}}.$

а) Чтобы сравнить числа $ \sqrt[3]{3}, \sqrt{2} $ и $ \sqrt[6]{5} $, необходимо привести их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей 3, 2 и 6 равно 6.
1. Приведем корень $ \sqrt[3]{3} $ к показателю 6: $ \sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9} $.
2. Приведем корень $ \sqrt{2} $ (показатель корня 2) к показателю 6: $ \sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[6]{8} $.
3. Корень $ \sqrt[6]{5} $ уже имеет показатель 6, поэтому оставляем его без изменений.
Теперь, когда все корни имеют одинаковый показатель, мы можем сравнить их подкоренные выражения: $ 5 < 8 < 9 $.
Из этого следует, что $ \sqrt[6]{5} < \sqrt[6]{8} < \sqrt[6]{9} $.
Подставив исходные значения, получаем итоговый порядок: $ \sqrt[6]{5} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3} $.
Ответ: $ \sqrt[6]{5}, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3} $.

б) Чтобы сравнить числа $ \sqrt[3]{5}, \sqrt[12]{3} $ и $ \sqrt[4]{8} $, приведем их к общему показателю корня. НОК для показателей 3, 12 и 4 равно 12.
1. $ \sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[12]{625} $.
2. $ \sqrt[12]{3} $ уже имеет нужный показатель, поэтому оставляем его без изменений.
3. $ \sqrt[4]{8} = \sqrt[4 \cdot 3]{8^3} = \sqrt[12]{512} $.
Сравним подкоренные выражения: $ 3 < 512 < 625 $.
Следовательно, $ \sqrt[12]{3} < \sqrt[12]{512} < \sqrt[12]{625} $.
Таким образом, в порядке возрастания числа располагаются так: $ \sqrt[12]{3} < \sqrt[4]{8} < \sqrt[3]{5} $.
Ответ: $ \sqrt[12]{3}, \sqrt[4]{8}, \sqrt[3]{5} $.

в) Сначала упростим выражение $ \sqrt[5]{\sqrt[3]{30}} $. По свойству корней $ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a} $, получаем $ \sqrt[5 \cdot 3]{30} = \sqrt[15]{30} $.
Теперь сравним числа $ \sqrt[5]{3}, \sqrt[3]{2} $ и $ \sqrt[15]{30} $. Приведем их к общему показателю корня, который равен НОК(5, 3, 15) = 15.
1. $ \sqrt[5]{3} = \sqrt[5 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[15]{27} $.
2. $ \sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32} $.
3. $ \sqrt[15]{30} $ оставляем без изменений.
Сравним подкоренные выражения: $ 27 < 30 < 32 $.
Следовательно, $ \sqrt[15]{27} < \sqrt[15]{30} < \sqrt[15]{32} $.
Возвращаясь к исходным числам, получаем: $ \sqrt[5]{3} < \sqrt[5]{\sqrt[3]{30}} < \sqrt[3]{2} $.
Ответ: $ \sqrt[5]{3}, \sqrt[5]{\sqrt[3]{30}}, \sqrt[3]{2} $.

г) Для начала упростим первое и третье выражения.
1. $ \sqrt[15]{125} = \sqrt[15]{5^3} $. Сократим показатель корня и степень подкоренного выражения на их общий делитель 3: $ \sqrt[15/3]{5^{3/3}} = \sqrt[5]{5} $.
2. $ \sqrt[6]{4\sqrt[5]{4}} $. Внесем множитель 4 под знак внутреннего корня: $ \sqrt[6]{\sqrt[5]{4^5 \cdot 4}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{4^6}} $. По свойству корней, это равно $ \sqrt[6 \cdot 5]{4^6} = \sqrt[30]{4^6} $. Сократим показатель корня и степень на их общий делитель 6: $ \sqrt[30/6]{4^{6/6}} = \sqrt[5]{4} $.
Теперь необходимо сравнить числа, которые мы получили после упрощения: $ \sqrt[5]{5} $, $ \sqrt[5]{6} $ и $ \sqrt[5]{4} $.
Так как все три корня имеют одинаковый показатель 5, достаточно сравнить их подкоренные выражения: $ 4 < 5 < 6 $.
Следовательно, $ \sqrt[5]{4} < \sqrt[5]{5} < \sqrt[5]{6} $.
Заменяя упрощенные выражения на исходные, получаем итоговый порядок: $ \sqrt[6]{4\sqrt[5]{4}} < \sqrt[15]{125} < \sqrt[5]{6} $.
Ответ: $ \sqrt[6]{4\sqrt[5]{4}}, \sqrt[15]{125}, \sqrt[5]{6} $.