Номер 2.211, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.211. Определите, какие из данных функций являются четными, а какие нечетными:

а) $f(x) = \sqrt[4]{x}$;

б) $f(x) = \sqrt[15]{x}$;

в) $f(x) = \sqrt[8]{|x| - 1}$;

г) $f(x) = \sqrt[9]{|x|} + 2.

Каким свойством обладает график нечетной функции?

Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, необходимо выполнить проверку по определению.

Функция $y = f(x)$ называется четной, если выполняются два условия:

1. Ее область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если выполняются два условия:

1. Ее область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат.
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Если хотя бы одно из условий (симметричность области определения или соответствующее равенство) не выполняется, то функция не является ни четной, ни нечетной (такие функции называют функциями общего вида).

а) $f(x) = \sqrt[4]{x}$

1. Найдем область определения функции. Так как показатель корня (4) является четным числом, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(f) = [0; +\infty)$.
2. Область определения $[0; +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат, так как она не содержит отрицательных чисел.
Поскольку первое условие не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

б) $f(x) = \sqrt[15]{x}$

1. Найдем область определения функции. Так как показатель корня (15) является нечетным числом, корень определен для любого действительного числа $x$. Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область определения симметрична относительно начала координат.
3. Проверим выполнение равенства. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt[15]{-x} = -\sqrt[15]{x} = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

в) $f(x) = \sqrt[8]{|x|} - 1$

1. Найдем область определения функции. Выражение $|x|$ всегда неотрицательно, поэтому корень четной степени (8) из него определен для любого действительного $x$. Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область определения симметрична относительно начала координат.
3. Проверим выполнение равенства. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt[8]{|-x|} - 1 = \sqrt[8]{|x|} - 1 = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

г) $f(x) = \sqrt[9]{|x|} + 2$

1. Найдем область определения функции. Корень нечетной степени (9) определен для любого действительного числа, а выражение $|x|$ принимает действительные неотрицательные значения. Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область определения симметрична относительно начала координат.
3. Проверим выполнение равенства. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt[9]{|-x|} + 2 = \sqrt[9]{|x|} + 2 = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

Каким свойством обладает график нечетной функции?

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки $O(0,0)$). Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на графике, точка $(-x_0, -y_0)$ также лежит на этом графике.

Ответ: симметрия относительно начала координат.