Номер 2.215, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.215. В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их общих точек:

а) $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = \frac{32}{x}$;

б) $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = \frac{x}{4}$.

а) Для того чтобы найти общие точки графиков функций $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = \frac{32}{x}$, необходимо построить их в одной системе координат и решить систему уравнений. Аналитическое решение позволит найти точные координаты.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:

$\sqrt[4]{x} = \frac{32}{x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x > 0$. Это следует из того, что подкоренное выражение корня четной степени не может быть отрицательным ($x \ge 0$), а знаменатель дроби не должен быть равен нулю ($x \ne 0$).

Умножим обе части уравнения на $x$ (это допустимо, так как $x > 0$):

$x \cdot \sqrt[4]{x} = 32$

Используя свойства степеней ($x = x^1$ и $\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$), получаем:

$x^{1 + \frac{1}{4}} = 32$

$x^{\frac{5}{4}} = 32$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в обратную степень $\frac{4}{5}$:

$x = 32^{\frac{4}{5}} = (\sqrt[5]{32})^4$

Поскольку $\sqrt[5]{32} = 2$, находим $x$:

$x = 2^4 = 16$

Теперь найдем ординату точки пересечения, подставив $x=16$ в любое из исходных уравнений. Возьмем $y = \sqrt[4]{x}$:

$y = \sqrt[4]{16} = 2$

Для проверки подставим во второе уравнение $y = \frac{32}{x}$:

$y = \frac{32}{16} = 2$

Значения совпали. Таким образом, графики функций имеют одну общую точку.

График функции $y = \sqrt[4]{x}$ — это плавно возрастающая кривая (ветвь параболы), выходящая из начала координат. График $y = \frac{32}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. В соответствии с ОДЗ ($x>0$), пересечение происходит в первой четверти.

Ответ: $(16; 2)$.

б) Для нахождения общих точек графиков функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = \frac{x}{4}$ приравняем их правые части:

$\sqrt[3]{x} = \frac{x}{4}$

Обе функции определены для всех действительных чисел. Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x})^3 = (\frac{x}{4})^3$

$x = \frac{x^3}{64}$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и решим его:

$x - \frac{x^3}{64} = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1 - \frac{x^2}{64}) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $1 - \frac{x^2}{64} = 0 \implies x^2 = 64 \implies x_2 = 8, x_3 = -8$

Мы нашли три абсциссы точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты, используя более простое уравнение $y = \frac{x}{4}$:

• При $x_1 = 0$, $y_1 = \frac{0}{4} = 0$. Точка: $(0; 0)$.
• При $x_2 = 8$, $y_2 = \frac{8}{4} = 2$. Точка: $(8; 2)$.
• При $x_3 = -8$, $y_3 = \frac{-8}{4} = -2$. Точка: $(-8; -2)$.

График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. График $y = \frac{x}{4}$ — прямая линия, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом $\frac{1}{4}$. Графики пересекаются в трех точках.

Ответ: $(-8; -2)$, $(0; 0)$, $(8; 2)$.