Номер 2.222, страница 202 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.222. Найдите область определения функции:

a) $f(x) = \frac{\sqrt[6]{x+8}}{\sqrt[6]{3-x}}$;

б) $f(x) = \frac{x+5}{\sqrt[3]{3-x}} + \sqrt[4]{x+7}$;

в) $f(x) = \sqrt[8]{x^2-4x+3} + \sqrt[4]{9-x^2}$.

а) Область определения функции $f(x) = \frac{\sqrt[6]{x+8}}{\sqrt[6]{3-x}}$ находится из условий, что выражения под корнями четной степени должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен быть равен нулю. Это приводит к системе неравенств:

$$ \begin{cases} x+8 \ge 0 \\ 3-x > 0 \end{cases} $$

Решая эту систему, получаем:

$$ \begin{cases} x \ge -8 \\ x < 3 \end{cases} $$

Таким образом, область определения функции представляет собой пересечение этих двух условий, то есть интервал от -8 (включительно) до 3 (не включительно).
Ответ: $x \in [-8, 3)$.

б) Область определения функции $f(x) = \frac{x+5}{\sqrt[3]{3-x}} + \sqrt[4]{x+7}$ является пересечением областей определения двух слагаемых.

1. Для слагаемого $\frac{x+5}{\sqrt[3]{3-x}}$: корень нечетной степени (кубический) определен для любого действительного числа, но знаменатель не может быть равен нулю.
$\sqrt[3]{3-x} \ne 0 \implies 3-x \ne 0 \implies x \ne 3$.

2. Для слагаемого $\sqrt[4]{x+7}$: выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным.
$x+7 \ge 0 \implies x \ge -7$.

Объединяя оба условия, получаем, что $x$ должен быть больше или равен -7, и при этом не равен 3.
Ответ: $x \in [-7, 3) \cup (3, +\infty)$.

в) Область определения функции $f(x) = \sqrt[8]{x^2 - 4x + 3} + \sqrt[4]{9-x^2}$ является пересечением областей определения двух слагаемых. Так как оба корня имеют четную степень, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Получаем систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 \ge 0 \\ 9 - x^2 \ge 0 \end{cases} $$

1. Решаем первое неравенство $x^2 - 4x + 3 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ имеет ветви, направленные вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$.

2. Решаем второе неравенство $9 - x^2 \ge 0$.
Это равносильно $x^2 \le 9$. Корни уравнения $9 - x^2 = 0$ равны $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.
Парабола $y = 9 - x^2$ имеет ветви, направленные вниз, значит, неравенство выполняется при $x \in [-3, 3]$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$ и $[-3, 3]$.
Пересечение множества $[-3, 3]$ с $(-\infty, 1]$ дает отрезок $[-3, 1]$.
Пересечение множества $[-3, 3]$ с $[3, +\infty)$ дает точку $\{3\}$.
Область определения является объединением этих результатов.
Ответ: $x \in [-3, 1] \cup \{3\}$.