Номер 2.228, страница 202 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.228. Найдите два последовательных целых числа, между которыми на координатной прямой находится число:

а) $\sqrt{5}$;

б) $\sqrt[3]{23}$;

в) $\sqrt[4]{629}$;

г) $-\sqrt[5]{41}$.

а) Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми на координатной прямой находится число $\sqrt{5}$, нам нужно найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt{5} < n+1$.
Поскольку функция $y=x^2$ возрастает для положительных $x$, мы можем возвести все части неравенства в квадрат: $n^2 < 5 < (n+1)^2$.
Теперь подберем квадраты последовательных целых чисел, между которыми находится число 5.
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$
Мы видим, что $4 < 5 < 9$, что соответствует неравенству $2^2 < 5 < 3^2$.
Из этого следует, что $2 < \sqrt{5} < 3$.
Таким образом, целая часть числа $\sqrt{5}$ равна 2.
Ответ: 2 и 3.

б) Аналогично, для числа $\sqrt[3]{23}$ ищем целое число $n$, такое что $n < \sqrt[3]{23} < n+1$.
Возведем все части неравенства в третью степень: $n^3 < 23 < (n+1)^3$.
Подберем кубы последовательных целых чисел, между которыми находится число 23.
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
Мы видим, что $8 < 23 < 27$, что соответствует неравенству $2^3 < 23 < 3^3$.
Из этого следует, что $2 < \sqrt[3]{23} < 3$.
Таким образом, целая часть числа $\sqrt[3]{23}$ равна 2.
Ответ: 2 и 3.

в) Для числа $\sqrt[4]{629}$ ищем целое число $n$, такое что $n < \sqrt[4]{629} < n+1$.
Возведем все части неравенства в четвертую степень: $n^4 < 629 < (n+1)^4$.
Подберем четвертые степени последовательных целых чисел, между которыми находится число 629.
$4^4 = 256$
$5^4 = 625$
$6^4 = 1296$
Мы видим, что $625 < 629 < 1296$, что соответствует неравенству $5^4 < 629 < 6^4$.
Из этого следует, что $5 < \sqrt[4]{629} < 6$.
Таким образом, целая часть числа $\sqrt[4]{629}$ равна 5.
Ответ: 5 и 6.

г) Для отрицательного числа $-\sqrt[5]{41}$ сначала найдем целые числа, между которыми находится положительное число $\sqrt[5]{41}$. Ищем целое число $n$, такое что $n < \sqrt[5]{41} < n+1$.
Возведем все части неравенства в пятую степень: $n^5 < 41 < (n+1)^5$.
Подберем пятые степени последовательных целых чисел, между которыми находится число 41.
$2^5 = 32$
$3^5 = 243$
Мы видим, что $32 < 41 < 243$, что соответствует неравенству $2^5 < 41 < 3^5$.
Из этого следует, что $2 < \sqrt[5]{41} < 3$.
Теперь умножим все части этого неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-2 > -\sqrt[5]{41} > -3$.
Запишем неравенство в порядке возрастания: $-3 < -\sqrt[5]{41} < -2$.
Таким образом, целая часть числа $-\sqrt[5]{41}$ равна -3.
Ответ: -3 и -2.