Номер 2.224, страница 202 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.224. Найдите наименьшее значение функции:

а) $f(x) = \sqrt[8]{x} + 2$;

б) $f(x) = \sqrt[6]{x+7} - 10$;

в) $f(x) = \sqrt[8]{x-1} - 63$;

г) $f(x) = 4\sqrt[10]{x} - 7$.

а) Для нахождения наименьшего значения функции $f(x) = \sqrt[8]{x} + 2$ необходимо учесть свойства корня четной степени.
1. Область определения функции: Выражение под корнем четной степени (8-й) должно быть неотрицательным. Таким образом, $x \ge 0$.
2. Минимум выражения $\sqrt[8]{x}$: Функция $y(x) = \sqrt[8]{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. Следовательно, её наименьшее значение достигается в наименьшей точке области определения, то есть при $x = 0$.
Наименьшее значение $\sqrt[8]{x}$ равно $\sqrt[8]{0} = 0$.
3. Наименьшее значение функции $f(x)$: Подставляем наименьшее значение корня в функцию:
$f_{min} = 0 + 2 = 2$.
Ответ: 2

б) Для нахождения наименьшего значения функции $f(x) = \sqrt[6]{x+7} - 10$ выполним следующие шаги.
1. Область определения функции: Выражение под корнем 6-й степени должно быть неотрицательным.
$x + 7 \ge 0 \implies x \ge -7$.
2. Минимум выражения $\sqrt[6]{x+7}$: Наименьшее значение выражения $\sqrt[6]{x+7}$ достигается при наименьшем возможном значении подкоренного выражения, то есть когда $x+7 = 0$. Это происходит при $x = -7$.
Наименьшее значение $\sqrt[6]{x+7}$ равно $\sqrt[6]{-7+7} = \sqrt[6]{0} = 0$.
3. Наименьшее значение функции $f(x)$: Подставляем наименьшее значение корня в функцию:
$f_{min} = 0 - 10 = -10$.
Ответ: -10

в) Для нахождения наименьшего значения функции $f(x) = \sqrt[8]{x-1} - 63$ рассуждаем аналогично.
1. Область определения функции: Выражение под корнем 8-й степени должно быть неотрицательным.
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
2. Минимум выражения $\sqrt[8]{x-1}$: Наименьшее значение выражения $\sqrt[8]{x-1}$ достигается, когда подкоренное выражение минимально, то есть $x-1=0$. Это происходит при $x=1$.
Наименьшее значение $\sqrt[8]{x-1}$ равно $\sqrt[8]{1-1} = \sqrt[8]{0} = 0$.
3. Наименьшее значение функции $f(x)$: Подставляем наименьшее значение корня в функцию:
$f_{min} = 0 - 63 = -63$.
Ответ: -63

г) Для нахождения наименьшего значения функции $f(x) = 4\sqrt[10]{x} - 7$ выполним те же действия.
1. Область определения функции: Выражение под корнем 10-й степени должно быть неотрицательным.
$x \ge 0$.
2. Минимум выражения $4\sqrt[10]{x}$: Наименьшее значение выражения $\sqrt[10]{x}$ равно 0 и достигается при $x=0$. Так как коэффициент 4 положителен, наименьшее значение всего слагаемого $4\sqrt[10]{x}$ также достигается при $x=0$.
Наименьшее значение $4\sqrt[10]{x}$ равно $4 \cdot \sqrt[10]{0} = 4 \cdot 0 = 0$.
3. Наименьшее значение функции $f(x)$: Подставляем наименьшее значение первого слагаемого в функцию:
$f_{min} = 0 - 7 = -7$.
Ответ: -7