Номер 2.226, страница 202 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.226. Верно ли, что:

а) функция $f(x) = \sqrt[8]{x}$ на промежутке $[-3; 0]$ принимает положительные значения;

б) функция $f(x) = \sqrt[5]{x}$ принимает положительные значения при любых $x > 0$?

а) Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[8]{x}$. Показатель корня $n=8$ является четным числом. Арифметический корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Это означает, что область определения данной функции — это множество $x \ge 0$.
Промежуток $[-3; 0]$, указанный в условии, содержит отрицательные числа (например, -3, -2, -1), в которых функция не определена в области действительных чисел. Единственная точка из этого промежутка, в которой функция определена, это $x=0$.
Найдем значение функции в этой точке: $f(0) = \sqrt[8]{0} = 0$.
Число 0 не является положительным числом. Таким образом, на заданном промежутке функция не принимает положительных значений. Утверждение неверно.
Ответ: Нет.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[5]{x}$. Показатель корня $n=5$ является нечетным числом. Корень нечетной степени определен для любых действительных значений подкоренного выражения.
Требуется проверить, принимает ли функция положительные значения при любых $x > 0$.
Пусть $y = f(x) = \sqrt[5]{x}$. По определению корня пятой степени, это такое число $y$, что $y^5 = x$.
По условию, $x > 0$, следовательно, мы имеем равенство $y^5 = x$, где правая часть положительна.
Нечетная степень ($5$) действительного числа положительна тогда и только тогда, когда само число положительно. Из $y^5 > 0$ следует, что $y > 0$.
Это означает, что для любого $x > 0$ значение функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$ будет положительным. Утверждение верно.
Ответ: Да.