Номер 2.231, страница 203 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.231. Расположите в порядке убывания числа:

а) $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[6]{6}$;

б) $\sqrt[3]{6}$, $\sqrt[4]{10}$ и $\sqrt[3]{\sqrt{30}}$.

а) Для того чтобы сравнить числа $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[6]{6}$, необходимо привести их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей корней 2, 3 и 6 равно 6.

Приведем каждый корень к показателю 6, используя свойство $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$:

• $\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[6]{8}$
• $\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9}$
• $\sqrt[6]{6}$ уже имеет показатель 6.

Теперь сравним полученные подкоренные выражения: $9$, $8$ и $6$.

Поскольку $9 > 8 > 6$, то соответствующие корни будут находиться в таком же соотношении: $\sqrt[6]{9} > \sqrt[6]{8} > \sqrt[6]{6}$.

Заменив корни на исходные числа, получаем порядок убывания: $\sqrt[3]{3} > \sqrt{2} > \sqrt[6]{6}$.

Ответ: $\sqrt[3]{3}, \sqrt{2}, \sqrt[6]{6}$.

б) Сначала упростим выражение $\sqrt[3]{\sqrt{30}}$. По свойству корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$, получаем: $\sqrt[3]{\sqrt{30}} = \sqrt[3 \cdot 2]{30} = \sqrt[6]{30}$.

Теперь нам нужно сравнить числа $\sqrt[3]{6}$, $\sqrt[4]{10}$ и $\sqrt[6]{30}$.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для показателей корней 3, 4 и 6. НОК(3, 4, 6) = 12.

Приведем каждый корень к показателю 12:

• $\sqrt[3]{6} = \sqrt[3 \cdot 4]{6^4} = \sqrt[12]{1296}$
• $\sqrt[4]{10} = \sqrt[4 \cdot 3]{10^3} = \sqrt[12]{1000}$
• $\sqrt[6]{30} = \sqrt[6 \cdot 2]{30^2} = \sqrt[12]{900}$

Сравним подкоренные выражения: $1296$, $1000$ и $900$.

Так как $1296 > 1000 > 900$, то $\sqrt[12]{1296} > \sqrt[12]{1000} > \sqrt[12]{900}$.

Следовательно, исходные числа в порядке убывания располагаются так: $\sqrt[3]{6} > \sqrt[4]{10} > \sqrt[3]{\sqrt{30}}$.

Ответ: $\sqrt[3]{6}, \sqrt[4]{10}, \sqrt[3]{\sqrt{30}}$.