Номер 2.236, страница 203 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.236. В одной системе координат постройте графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x$, найдите координаты их общих точек.

Для решения данной задачи необходимо выполнить два действия: построить графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x$ в одной системе координат, а затем аналитически найти координаты точек их пересечения.

1. Построение графиков

График функции $y = x$ — это прямая линия, которая является биссектрисой I и III координатных четвертей. Она проходит через начало координат (0,0) и, например, точку (1,1) и (-1, -1).

График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — это кривая, симметричная относительно начала координат (так как функция является нечетной: $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$). Для построения графика найдем значения в нескольких контрольных точках:

Построив оба графика в одной системе координат, можно визуально определить, что они пересекаются в трех точках.

Найдите координаты их общих точек:
Чтобы найти точные координаты общих точек, необходимо решить систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \sqrt[3]{x} \\ y = x \end{cases} $$ Приравняем правые части уравнений: $$ \sqrt[3]{x} = x $$ Для того чтобы избавиться от кубического корня, возведем обе части уравнения в третью степень: $$ (\sqrt[3]{x})^3 = x^3 $$ $$ x = x^3 $$ Перенесем все члены в левую часть и решим полученное уравнение: $$ x^3 - x = 0 $$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(x^2 - 1) = 0 $$ Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$: $$ x(x - 1)(x + 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три решения для $x$:

• $x_1 = 0$
• $x_2 = 1$
• $x_3 = -1$

Поскольку точки пересечения принадлежат обоим графикам, для нахождения ординат ($y$) можно подставить найденные значения абсцисс ($x$) в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение $y=x$.

• Если $x=0$, то $y=0$.
• Если $x=1$, то $y=1$.
• Если $x=-1$, то $y=-1$.

Таким образом, графики функций имеют три общие точки.
Ответ: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; -1)$.