Номер 2.238, страница 203 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.238. Из данных уравнений выберите все уравнения, равносильные уравнению $\frac{x-2}{x^2-4} = 0$:

а) $5x - 10 = 0$;

б) $x^2 - x + 7 = 0$;

в) $3(x-1) + 6 = 7x - 4(x + 2)$;

г) $\frac{x}{x+1} = 0$;

д) $x^2 + 9 = 0$.

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений (корней) совпадают. Чтобы найти уравнения, равносильные данному, сначала решим исходное уравнение $\frac{x-2}{x^2-4} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю:
   $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
2. Проверим условие неравенства знаменателя нулю (область допустимых значений, ОДЗ):
   $x^2 - 4 \neq 0$
   $(x - 2)(x + 2) \neq 0$
   Отсюда следует, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Потенциальный корень $x=2$, полученный из числителя, не удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений. Множество его решений — пустое множество ($\emptyset$).

Теперь необходимо найти все уравнения из предложенных, которые также не имеют решений.

а) $5x - 10 = 0$
Решим данное линейное уравнение:
$5x = 10$
$x = \frac{10}{5} = 2$
Уравнение имеет корень $x=2$. Множество его решений $\{2\}$ не является пустым, следовательно, оно не равносильно исходному уравнению.
Ответ: не равносильно.

б) $x^2 - x + 7 = 0$
Это квадратное уравнение. Вычислим его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = -27$
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Множество его решений пустое ($\emptyset$), следовательно, оно равносильно исходному уравнению.
Ответ: равносильно.

в) $3(x - 1) + 6 = 7x - 4(x + 2)$
Раскроем скобки и упростим уравнение:
$3x - 3 + 6 = 7x - 4x - 8$
$3x + 3 = 3x - 8$
Приведем подобные слагаемые:
$3x - 3x = -8 - 3$
$0 = -11$
Получено неверное числовое равенство, что означает, что уравнение не имеет решений. Множество его решений пустое ($\emptyset$), следовательно, оно равносильно исходному уравнению.
Ответ: равносильно.

г) $\frac{x}{x+1} = 0$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
1. Числитель: $x=0$.
2. Знаменатель: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
Корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ. Уравнение имеет корень $x=0$. Множество его решений $\{0\}$ не является пустым, следовательно, оно не равносильно исходному уравнению.
Ответ: не равносильно.

д) $x^2 + 9 = 0$
Решим уравнение:
$x^2 = -9$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней. Множество его решений пустое ($\emptyset$), следовательно, оно равносильно исходному уравнению.
Ответ: равносильно.

Итоговый ответ: Равносильными исходному уравнению являются уравнения из пунктов б), в) и д).