Номер 2.240, страница 203 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.240. Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения:

a) $\sin\left(\frac{\pi}{3}-3x\right)=-1;$

б) $\cos\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=-1.$

а) Решим уравнение $\sin\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right) = -1$.

Общее решение для уравнения $\sin(y) = -1$ задается формулой $y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$\frac{\pi}{3} - 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Теперь выразим $x$:

$-3x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Приводя дроби к общему знаменателю:

$-3x = -\frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2\pi n$

$-3x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Разделим обе части на -3:

$x = \frac{5\pi}{18} - \frac{2\pi n}{3}$

Так как $n$ является любым целым числом, для удобства поиска корней мы можем заменить $-n$ на $k$ ($k \in \mathbb{Z}$), чтобы получить формулу с положительным периодом:

$x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{5\pi + 12\pi k}{18} = \frac{\pi(5 + 12k)}{18}$

Поиск наименьшего положительного корня:

Нам нужно найти наименьшее целое $k$, для которого $x > 0$.

$\frac{\pi(5 + 12k)}{18} > 0 \implies 5 + 12k > 0 \implies 12k > -5 \implies k > -\frac{5}{12}$

Наименьшее целое $k$, удовлетворяющее этому условию, — это $k=0$.

При $k=0$, $x = \frac{\pi(5 + 12 \cdot 0)}{18} = \frac{5\pi}{18}$.

Поиск наибольшего отрицательного корня:

Нам нужно найти наибольшее целое $k$, для которого $x < 0$.

$\frac{\pi(5 + 12k)}{18} < 0 \implies 5 + 12k < 0 \implies 12k < -5 \implies k < -\frac{5}{12}$

Наибольшее целое $k$, удовлетворяющее этому условию, — это $k=-1$.

При $k=-1$, $x = \frac{\pi(5 + 12 \cdot (-1))}{18} = \frac{\pi(5 - 12)}{18} = -\frac{7\pi}{18}$.

Ответ: наименьший положительный корень $\frac{5\pi}{18}$; наибольший отрицательный корень $-\frac{7\pi}{18}$.

б) Решим уравнение $\cos\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = -1$.

Общее решение для уравнения $\cos(y) = -1$ задается формулой $y = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$\frac{3\pi}{4} - \frac{x}{2} = \pi + 2\pi n$

Теперь выразим $x$:

$-\frac{x}{2} = \pi - \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

$-\frac{x}{2} = \frac{4\pi - 3\pi}{4} + 2\pi n$

$-\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Умножим обе части на -2:

$x = -2\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi n\right) = -\frac{2\pi}{4} - 4\pi n = -\frac{\pi}{2} - 4\pi n$

Так как $n$ является любым целым числом, мы можем заменить $-n$ на $k$ ($k \in \mathbb{Z}$):

$x = -\frac{\pi}{2} + 4\pi k = \frac{-\pi + 8\pi k}{2} = \frac{\pi(8k - 1)}{2}$

Поиск наименьшего положительного корня:

Нам нужно найти наименьшее целое $k$, для которого $x > 0$.

$\frac{\pi(8k - 1)}{2} > 0 \implies 8k - 1 > 0 \implies 8k > 1 \implies k > \frac{1}{8}$

Наименьшее целое $k$, удовлетворяющее этому условию, — это $k=1$.

При $k=1$, $x = \frac{\pi(8 \cdot 1 - 1)}{2} = \frac{7\pi}{2}$.

Поиск наибольшего отрицательного корня:

Нам нужно найти наибольшее целое $k$, для которого $x < 0$.

$\frac{\pi(8k - 1)}{2} < 0 \implies 8k - 1 < 0 \implies 8k < 1 \implies k < \frac{1}{8}$

Наибольшее целое $k$, удовлетворяющее этому условию, — это $k=0$.

При $k=0$, $x = \frac{\pi(8 \cdot 0 - 1)}{2} = -\frac{\pi}{2}$.

Наименьший положительный корень равен $\frac{7\pi}{2}$. Это неправильная дробь, выделим целую часть: $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$. Таким образом, корень равен $3\frac{1}{2}\pi$. Наибольший отрицательный корень равен $-\frac{\pi}{2}$.

Ответ: наименьший положительный корень $3\frac{1}{2}\pi$; наибольший отрицательный корень $-\frac{\pi}{2}$.