Номер 2.244, страница 212 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.244. Решите иррациональное уравнение:

a) $\sqrt{4x - 1} = 5;$

б) $\sqrt[3]{8x - 31} = -3;$

в) $\sqrt{8x - 1} - 3 = 0;$

г) $1 + \sqrt[3]{7 - x} = 0;$

д) $2\sqrt[4]{-3x - 2} = 1;$

е) $5\sqrt[5]{9 - 2x} = 10.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt{4x-1}=5$.

Поскольку корень четной степени (квадратный), его значение не может быть отрицательным. Правая часть уравнения (5) положительна, поэтому решение может существовать. Для нахождения решения необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Это называется Областью допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ: $4x - 1 \ge 0 \Rightarrow 4x \ge 1 \Rightarrow x \ge \frac{1}{4}$.

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{4x-1})^2 = 5^2$

$4x - 1 = 25$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$4x = 25 + 1$

$4x = 26$

$x = \frac{26}{4} = \frac{13}{2}$

Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. $x = \frac{13}{2} = 6.5$. Так как $6.5 \ge \frac{1}{4}$, корень является решением уравнения.

Ответ: $6\frac{1}{2}$

б) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{8x-31}=-3$.

Так как корень нечетной степени (кубический), он может принимать любые действительные значения, поэтому ОДЗ для переменной $x$ не ограничена ($x \in \mathbb{R}$).

Чтобы избавиться от радикала, возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{8x-31})^3 = (-3)^3$

$8x - 31 = -27$

Решим полученное линейное уравнение:

$8x = -27 + 31$

$8x = 4$

$x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Исходное уравнение: $\sqrt{8x-1}-3=0$.

Для начала изолируем корень в левой части уравнения:

$\sqrt{8x-1}=3$

Это корень четной степени, правая часть положительна. Найдем ОДЗ:

$8x - 1 \ge 0 \Rightarrow 8x \ge 1 \Rightarrow x \ge \frac{1}{8}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{8x-1})^2 = 3^2$

$8x - 1 = 9$

$8x = 9 + 1$

$8x = 10$

$x = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

Проверим ОДЗ: $x = \frac{5}{4} = 1.25$. Так как $1.25 \ge \frac{1}{8}$, корень подходит.

Ответ: $1\frac{1}{4}$

г) Исходное уравнение: $1 + \sqrt[3]{7-x} = 0$.

Изолируем корень:

$\sqrt[3]{7-x} = -1$

Это корень нечетной степени, ОДЗ не ограничена. Возводим обе части в куб:

$(\sqrt[3]{7-x})^3 = (-1)^3$

$7 - x = -1$

$-x = -1 - 7$

$-x = -8$

$x = 8$

Ответ: $8$

д) Исходное уравнение: $2\sqrt[4]{-3x-2}=1$.

Изолируем корень:

$\sqrt[4]{-3x-2} = \frac{1}{2}$

Корень четной степени, правая часть положительна. Найдем ОДЗ:

$-3x - 2 \ge 0 \Rightarrow -3x \ge 2 \Rightarrow x \le -\frac{2}{3}$.

Возведем обе части в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{-3x-2})^4 = (\frac{1}{2})^4$

$-3x - 2 = \frac{1}{16}$

$-3x = 2 + \frac{1}{16}$

$-3x = \frac{32}{16} + \frac{1}{16}$

$-3x = \frac{33}{16}$

$x = -\frac{33}{16 \cdot 3} = -\frac{11}{16}$

Проверим ОДЗ: $-\frac{11}{16} \approx -0.6875$ и $-\frac{2}{3} \approx -0.6667$. Так как $-0.6875 \le -0.6667$, корень подходит.

Ответ: $-\frac{11}{16}$

е) Исходное уравнение: $5\sqrt[5]{9-2x}=10$.

Изолируем корень, разделив обе части на 5:

$\sqrt[5]{9-2x} = \frac{10}{5}$

$\sqrt[5]{9-2x} = 2$

Корень нечетной степени, ОДЗ не ограничена. Возводим обе части в пятую степень:

$(\sqrt[5]{9-2x})^5 = 2^5$

$9 - 2x = 32$

$-2x = 32 - 9$

$-2x = 23$

$x = -\frac{23}{2}$

Ответ: $-11\frac{1}{2}$